Questão de Estatística · FCC TRT17 2022 (nº 53)

A regressão linear simples é um método estatístico que busca modelar a relação entre duas variáveis, uma dependente (Y) e uma independente (X), através de uma linha reta. O Método dos Mínimos Quadrados (MMQ) é a técnica mais comum para encontrar a equação dessa linha, minimizando a soma dos quadrados das diferenças entre os valores observados de Y e os valores previstos pela linha. Os parâmetros $\hat{\beta}_0$ (intercepto) e $\hat{\beta}_1$ (inclinação) são os coeficientes dessa linha estimada.

Para calcular $\hat{\beta}_0$ e $\hat{\beta}_1$, usamos as seguintes fórmulas:
$\hat{\beta}_1 = \frac{S_{XY}}{S_{XX}}$
$\hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1 \bar{X}$

Onde:
$n = 10$
$\sum X_i = 120 \implies \bar{X} = \frac{120}{10} = 12$
$\sum Y_i = 2000 \implies \bar{Y} = \frac{2000}{10} = 200$
$\sum X_i^2 = 1490$
$\sum X_i Y_i = 24330$

Primeiro, calculamos $S_{XX}$ e $S_{XY}$:
$S_{XX} = \sum X_i^2 - n \bar{X}^2 = 1490 - 10 \times (12)^2 = 1490 - 10 \times 144 = 1490 - 1440 = 50$
$S_{XY} = \sum X_i Y_i - n \bar{X} \bar{Y} = 24330 - 10 \times 12 \times 200 = 24330 - 24000 = 330$

Agora, calculamos $\hat{\beta}_1$:
$\hat{\beta}_1 = \frac{S_{XY}}{S_{XX}} = \frac{330}{50} = 6,6$

Finalmente, calculamos $\hat{\beta}_0$:
$\hat{\beta}_0 = \bar{Y} - \hat{\beta}_1 \bar{X} = 200 - 6,6 \times 12 = 200 - 79,2 = 120,8$

Portanto, os valores estimados são $\hat{\beta}_0 = 120,8$ e $\hat{\beta}_1 = 6,6$.

• (A) Correta: Os valores calculados de $\hat{\beta}_0 = 120,8$ e $\hat{\beta}_1 = 6,6$ correspondem exatamente aos resultados obtidos pelas fórmulas do Método dos Mínimos Quadrados.
• (B) Incorreta: Ambos os valores estão incorretos, indicando um erro substancial nos cálculos de $\hat{\beta}_0$ e $\hat{\beta}_1$.
• (C) Incorreta: Embora $\hat{\beta}_1 = 6,6$ esteja correto, o valor de $\hat{\beta}_0 = 66,5$ está incorreto. Esta alternativa pode ser um distrator para quem acerta a inclinação, mas comete um erro na substituição ou cálculo do intercepto.
• (D) Incorreta: Ambos os valores estão incorretos, sugerindo erros nos cálculos de ambos os parâmetros.
• (E) Incorreta: Embora $\hat{\beta}_0 = 120,8$ esteja correto, o valor de $\hat{\beta}_1 = 5,6$ está incorreto. Armadilha da banca: Esta é uma alternativa muito tentadora, pois um dos valores está correto. Um erro comum de cálculo para $\hat{\beta}_1$ poderia ser, por exemplo, um engano na subtração de $S_{XY}$ (se $24330 - 24000 fosse erroneamente calculado como \280, então \280/50 = 5,6$), levando a um erro apenas na inclinação.