Questão de Estatística · FCC TRT17 2022 (nº 49)

O nível de significância ($\alpha$) de um teste de hipóteses é a probabilidade de rejeitar a hipótese nula ($H_0$) quando ela é, na verdade, verdadeira. É o risco de cometer um erro do Tipo I.

• Hipóteses: $H_0: p = 0,5$ e $H_1: p > 0,5$.
• Amostra: $n = 4$ eleitores, com reposição.
• Regra de decisão (Região Crítica): Rejeitar $H_0$ se "mais que 2 eleitores forem favoráveis a X" na amostra. Isso significa que o número de eleitores favoráveis ($X$) deve ser $X=3$ ou $X=4$.

Para calcular o nível de significância, precisamos encontrar a probabilidade de $X > 2$ assumindo que $H_0$ é verdadeira, ou seja, $p = 0,5$.
Como temos um número fixo de tentativas ($n=4$) e cada tentativa é independente (com reposição) com duas categorias de resultado (favorável ou não), a distribuição do número de eleitores favoráveis é Binomial: $X \sim B(n=4, p=0,5)$.

A probabilidade de $k$ sucessos em $n$ tentativas é dada por $P(X=k) = \binom{n}{k} p^k (1-p)^{n-k}$.

1. Probabilidade de 3 eleitores favoráveis ($X=3$) sob $H_0$:
   P(X=3) = \binom{4}{3} (0,5)^3 (0,5)^{4-3} = 4 \times (0,5)^3 \times (0,5)^1 = 4 \times 0,125 \times 0,5 = 4 \times 0,0625 = 0,25\

2. Probabilidade de 4 eleitores favoráveis ($X=4$) sob $H_0$:
   $P(X=4) = \binom{4}{4} (0,5)^4 (0,5)^{4-4} = 1 \times (0,5)^4 \times (0,5)^0 = 1 \times 0,0625 \times 1 = 0,0625$

O nível de significância ($\alpha$) é a soma dessas probabilidades:
$\alpha = P(X=3) + P(X=4) = 0,25 + 0,0625 = 0,3125$

Convertendo para porcentagem: $0,3125 \times 100\% = 31,25\%$.

(A) Incorreta: 6,25% corresponde apenas à probabilidade de $P(X=4)$ ou $P(X=0)$ sob $H_0$, não à região crítica completa.
(B) Incorreta: 25,00% corresponde apenas à probabilidade de $P(X=3)$ sob $H_0$, não à região crítica completa.
(C) Incorreta: 37,50% corresponde à probabilidade de $P(X=2)$ sob $H_0$. A armadilha aqui é que se a regra de decisão fosse "exatamente 2 eleitores", esta seria a resposta, mas a regra é "mais que 2".
(D) Correta: O nível de significância é a soma das probabilidades de $X=3$ e $X=4$ quando $p=0,5$, que é $0,25 + 0,0625 = 0,3125$ou 31,25**(E) Incorreta:** 68,75$H_0$quando$H_0$é verdadeira (ou seja,$P(X \le 2 \mid p=0,5) = 1 - \alpha$). É uma pegadinha comum confundir o nível de significância com a probabilidade de não cometer um erro Tipo I.