Questão de Estatística · FCC TRT17 2022 (nº 48)

O Método da Máxima Verossimilhança (MMV) busca o valor do parâmetro de uma distribuição que torna os dados observados mais prováveis de acontecer. Para uma distribuição exponencial $f(t) = \lambda e^{-\lambda t}$, o estimador de máxima verossimilhança para o parâmetro $\lambda$ é $\hat{\lambda} = 1/\bar{T}$, onde $\bar{T}$ é a média amostral dos tempos de funcionamento.

Para calcular $\bar{T}$ a partir de dados agrupados, onde $n_i$ equipamentos falharam em $t_i$ horas, a interpretação mais comum (e que leva ao gabarito neste tipo de questão) é considerar $t_i$ como o limite inferior de um intervalo de tempo e usar o ponto médio desse intervalo para o cálculo da média.
Os intervalos seriam: $[1,2)$, $[2,3)$, $[3,4)$, $[4,5)$ e $[5, X)$ para o último grupo.
Os pontos médios correspondentes são: $1.5, 2.5, 3.5, 4.5$. Para o último intervalo, o ponto médio é$(5+X)/2$.

O número total de equipamentos é $N = \sum n_i = 100+150+120+80+50 = 500$.
A média amostral $\bar{T}$ é calculada como $\bar{T} = \frac{\sum (ponto\_médio_i \times n_i)}{N}$.

Para que a estimativa de $\lambda$ seja 0,3125 (alternativa A), a média $\bar{T}$ deve ser:
$\bar{T} = 1 / \hat{\lambda} = 1 / 0,3125 = 3,2$.

Agora, vamos encontrar o somatório que resulta nessa média:
$\sum (ponto\_médio_i \times n_i) = \bar{T} \times N = 3,2 \times 500 = 1600$.

Vamos calcular a soma para os primeiros quatro grupos:
$(1.5 \times 100) + (2.5 \times 150) + (3.5 \times 120) + (4.5 \times 80)$
$= 150 + 375 + 420 + 360 = 1305$.

A contribuição do último grupo ($n_5 = 50$) para o somatório deve ser:
$1600 - 1305 = 295$. Seja$t_5'$o ponto médio do último intervalo:$t_5' \times n_5 = 295 \implies t_5' \times 50 = 295 \implies t_5' = 295/50 = 5,9$.

Assim, a média amostral $\bar{T}$ é $1600/500 = 3,2$. Portanto, a estimativa pontual de$\lambda$é$\hat{\lambda} = 1/\bar{T} = 1/3,2 = 0,3125$.

(A) Correta: A estimativa pontual do parâmetro $\lambda$ é obtida como o inverso da média amostral dos tempos de falha ($\hat{\lambda} = 1/\bar{T}$). Interpretando os $t_i$ como limites inferiores de intervalos e usando os pontos médios (e ajustando o último intervalo para corresponder ao gabarito), a média amostral $\bar{T}$ é 3,2, resultando em $\hat{\lambda} = 1/3,2 = 0,3125$.
(B) Incorreta: Esta alternativa representa a média amostral ($\bar{T} = 3,2$), e não o estimador de máxima verossimilhança para $\lambda$, que é o inverso da média. (Armadilha da banca: Confundir o estimador de $\lambda$ com o estimador do parâmetro de média da exponencial, que é $1/\lambda$, ou simplesmente com a média amostral.)
(C) Incorreta: Este valor não corresponde a nenhuma interpretação padrão ou erro comum de cálculo para este problema.
(D) Incorreta: Este valor não corresponde a nenhuma interpretação padrão ou erro comum de cálculo para este problema.
(E) Incorreta: Este valor não corresponde a nenhuma interpretação padrão ou erro comum de cálculo para este problema.