Questão de Estatística · FCC TRT17 2022 (nº 47)

A eficiência de um estimador (uma fórmula para "chutar" um valor desconhecido da população, como a média) é medida pela sua variância (o quão espalhados os "chutes" seriam se repetíssemos o processo várias vezes). Entre estimadores não viesados (que, em média, acertam o valor real), o mais eficiente é aquele que tem a menor variância.

Para resolver, primeiro determinamos os valores de $m$ e $n$ usando a condição de que ambos os estimadores são não viesados para $\mu$. Um estimador $E$ é não viesado se $E[E] = \mu$. Sabendo que $E[X]=E[Y]=E[Z]=\mu$:

Para $E_1 = mX + (m + n)Y - Z$:
$E[E_1] = mE[X] + (m+n)E[Y] - E[Z] = m\mu + (m+n)\mu - \mu = (2m+n-1)\mu$.
Para ser não viesado, $2m+n-1 = 1 \implies 2m+n=2$. (Equação 1)

Para $E_2 = mX + (m - n)Y - nZ$:
$E[E_2] = mE[X] + (m-n)E[Y] - nE[Z] = m\mu + (m-n)\mu - n\mu = (2m-2n)\mu$.
Para ser não viesado, $2m-2n = 1$. (Equação 2)

Resolvendo o sistema de equações:

1. $2m+n=2$
2. $2m-2n=1$Subtraindo a Equação 2 da Equação 1:$(2m+n) - (2m-2n) = 2-1 \implies 3n = 1 \implies n = 1/3$. Substituindo$n=1/3$na Equação 1:$2m + 1/3 = 2 \implies 2m = 5/3 \implies m = 5/6$. Portanto,$m=5/6$e$n=1/3$.

Agora, calculamos as variâncias de $E_1$ e $E_2$. Como $(X, Y, Z)$ é uma amostra aleatória com reposição, $X, Y, Z$ são independentes, e $Var(X)=Var(Y)=Var(Z)=\sigma^2=1$. Para uma combinação linear $aX+bY+cZ$, a variância é $a^2Var(X)+b^2Var(Y)+c^2Var(Z)$.

Para $E_1 = (5/6)X + (5/6 + 1/3)Y - Z = (5/6)X + (7/6)Y - Z$:
$Var(E_1) = (5/6)^2(1) + (7/6)^2(1) + (-1)^2(1) = 25/36 + 49/36 + 1 = 74/36 + 36/36 = 110/36 = 55/18 \approx 3.055$.

Para $E_2 = (5/6)X + (5/6 - 1/3)Y - (1/3)Z = (5/6)X + (1/2)Y - (1/3)Z$:
$Var(E_2) = (5/6)^2(1) + (1/2)^2(1) + (-1/3)^2(1) = 25/36 + 1/4 + 1/9 = 25/36 + 9/36 + 4/36 = 38/36 = 19/18 \approx 1.055$.

O estimador mais eficiente é aquele com a menor variância. Comparando $Var(E_1) \approx 3.055$ e $Var(E_2) \approx 1.055$, o estimador $E_2$ é o mais eficiente, e sua variância é $V = 19/18$.

Finalmente, verificamos qual alternativa corresponde a $V = 19/18 \approx 1.055$:

• (A) Incorreta: $V \approx 1.055$ não é maior que $2.5$.
• (B) Incorreta: $V \approx 1.055$ não é menor ou igual a $1.0$.
• (C) Incorreta: $V \approx 1.055$ não está no intervalo $1.5 < V \leq 2.0$.
• (D) Incorreta: $V \approx 1.055$ não está no intervalo $2.0 < V \leq 2.5$.
• (E) Correta: $V = 19/18 \approx 1.055$ está no intervalo $1.0 < V \leq 1.5$. A armadilha mais tentadora seria cometer erros de cálculo nas frações ou, mais fundamentalmente, não perceber que os valores de $m$ e $n$ precisavam ser determinados pela condição de não-viesamento antes de calcular as variâncias. Sem esses valores corretos, as variâncias seriam impossíveis de calcular ou estariam erradas.