Questão de Estatística · FCC TRT17 2022 (nº 46)

Para calcular a probabilidade de uma variável aleatória transformada, primeiro determinamos a constante da função densidade de probabilidade (PDF) original, depois convertemos a condição da nova variável para a variável original e, por fim, integramos a PDF original nos limites corretos.

1. Determinar a constante k:
   A integral da função densidade de probabilidade sobre todo o seu domínio deve ser igual a 1.
   $\int_{0}^{4} kx dx = 1$
   $k \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{4} = 1$
   $k \left( \frac{4^2}{2} - \frac{0^2}{2} \right) = 1$
   $k \left( \frac{16}{2} - 0 \right) = 1$
   $k(8) = 1 \implies k = \frac{1}{8}$.
   Assim, a função densidade de probabilidade é $f(x) = \frac{1}{8}x$ para $x \in (0, 4)$.

2. Transformar a condição de U para X:
   Queremos calcular $P(U > 8)$. Substituímos $U$ pela sua definição:
   $P(2X + 4 > 8)$
   $P(2X > 8 - 4)$
   $P(2X > 4)$
   $P(X > \frac{4}{2})$
   P(X > 2)\

3. Calcular a probabilidade usando a PDF de X:
   Agora, integramos a função $f(x)$ de $x=2$ até o limite superior do domínio de $X$, que é $x=4$.
   $P(X > 2) = \int_{2}^{4} \frac{1}{8}x dx$
   $P(X > 2) = \frac{1}{8} \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{2}^{4}$
   $P(X > 2) = \frac{1}{8} \left( \frac{4^2}{2} - \frac{2^2}{2} \right)$
   $P(X > 2) = \frac{1}{8} \left( \frac{16}{2} - \frac{4}{2} \right)$
   $P(X > 2) = \frac{1}{8} (8 - 2)$
   $P(X > 2) = \frac{1}{8} (6)$
   $P(X > 2) = \frac{6}{8} = \frac{3}{4}$.

(A) Incorreta: Esta alternativa ($7/8$) pode ser resultado de um erro aritmético na avaliação da integral ou de uma interpretação incorreta dos limites de integração. Por exemplo, se a integral fosse de$\sqrt{2} a 4, o resultado seria \7/8$. A armadilha da banca aqui é apresentar um valor numericamente próximo que pode ser atingido por pequenos erros de cálculo ou interpretação. **(B) Correta:** A probabilidade$P(U > 8)$é equivalente a$P(X > 2)$, que é calculada integrando a PDF de X de 2 a 4, resultando em$\frac{3}{4}. **(C) Incorreta:** Esta alternativa (\2/3) não corresponde aos cálculos corretos. **(D) Incorreta:** Esta alternativa (\4/5) não corresponde aos cálculos corretos. **(E) Incorreta:** Esta alternativa (\3/5$) não corresponde aos cálculos corretos.