Questão de Estatística · FCC TRT17 2022 (nº 45)

Em um teste de hipóteses, avaliamos se a evidência de uma amostra é forte o suficiente para rejeitar uma suposição inicial sobre a população (a hipótese nula, $H_0$). Um erro do tipo I ocorre quando rejeitamos a hipótese nula, mas ela é, na verdade, verdadeira; o nível de significância ($\alpha$) é a probabilidade máxima de cometer esse erro. Para não cometer um erro do tipo I, a média amostral ($\bar{x}$) deve cair na região de aceitação da hipótese nula.

Dados do problema:

• População normalmente distribuída.
• Variância populacional ($\sigma^2$) = 225 $\implies$ Desvio padrão populacional ($\sigma$) = $\sqrt{225} = 15$.
• Tamanho da amostra (n) = 144.
• Hipótese nula ($H_0$): $\mu = 150$.
• Hipótese alternativa ($H_1$): $\mu \neq 150$ (teste bicaudal).
• Nível de significância ($\alpha$) = 10% = 0.10.

Cálculos:

1. Erro padrão da média ($\sigma_{\bar{x}}$):
   $\sigma_{\bar{x}} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{15}{\sqrt{144}} = \frac{15}{12} = 1.25$.

2. Valor crítico de Z:
   Como o teste é bicaudal e $\alpha = 0.10$, dividimos $\alpha$ por 2 para cada cauda: $\alpha/2 = 0.10 / 2 = 0.05$.
   Precisamos encontrar o valor de Z ($z_{\alpha/2}$) tal que $P(Z > z_{\alpha/2}) = 0.05$.
   Consultando a tabela fornecida:

   • $P(Z > 1.64) = 0.0505$
   • $P(Z > 1.65) = 0.0495$
     O valor exato para $P(Z > z) = 0.05$ é aproximadamente $z = 1.645$. No entanto, se usarmos $z=1.64$, chegamos a uma das alternativas. Vamos usar $z = 1.64$ para obter o resultado exato da alternativa correta, que é uma prática comum em questões de múltipla escolha quando a tabela não fornece o valor exato.

3. Região de aceitação para $\bar{x}$:
   Para não cometer um erro do tipo I, $\bar{x}$ deve estar na região de aceitação. Para um teste bicaudal, a região de aceitação é $[\mu_0 - z_{\alpha/2} \cdot \sigma_{\bar{x}}, \mu_0 + z_{\alpha/2} \cdot \sigma_{\bar{x}}]$.
   O problema pede o maior valor para $\bar{x}$ que não cometa um erro do tipo I, o que corresponde ao limite superior da região de aceitação.
   $\bar{x}_{máx} = \mu_0 + z_{\alpha/2} \cdot \sigma_{\bar{x}}$
   $\bar{x}_{máx} = 150 + 1.64 \cdot 1.25$
   $\bar{x}_{máx} = 150 + 2.05$
   $\bar{x}_{máx} = 152.05$

(A) Incorreta: O valor calculado é 152,05, não 151,60.
(B) Incorreta: O valor calculado é 152,05, não 151,80.
(C) Incorreta: O valor calculado é 152,05, não 152,80. Este valor seria obtido com um Z muito maior, ou um erro padrão maior.
(D) Correta: O maior valor de $\bar{x}$ que permite aceitar a hipótese nula (e, portanto, não cometer um erro do tipo I) é 152,05, calculado como $\mu_0 + z_{\alpha/2} \cdot \sigma_{\bar{x}} = 150 + 1.64 \cdot 1.25 = 152.05$. A "pegadinha" aqui pode ser a escolha do valor de Z da tabela, que exige atenção para selecionar o que melhor se alinha com o nível de significância ou que leva à alternativa correta.
(E) Incorreta: O valor calculado é 152,05, não 151,75.