Questão de Estatística · FCC TRT17 2022 (nº 41)

As estatísticas de ordem são os valores de uma amostra aleatória quando organizados do menor para o maior. $X_{(1)}$ é a menor observação da amostra. A função de distribuição acumulada (F.D.A.) $F(x)$ nos diz a probabilidade de uma variável aleatória ser menor ou igual a um valor $x$.

Primeiro, encontramos a F.D.A. da variável $X$:
Para $0 < x < 2$,$F_X(x) = \int_0^x f(t) dt = \int_0^x (1/2) dt = (1/2)t \Big|_0^x = x/2$.

Agora, para a F.D.A. de $X_{(1)}$, $F_{X_{(1)}}(x) = P(X_{(1)} \le x)$. É mais fácil calcular o complemento:
$P(X_{(1)} > x) = P(\text{todos os } X_i \text{ são maiores que } x)$.
Como as amostras são independentes e identicamente distribuídas:
$P(X_{(1)} > x) = P(X_1 > x, X_2 > x, ..., X_n > x) = [P(X > x)]^n$.
Sabemos que $P(X > x) = 1 - P(X \le x) = 1 - F_X(x)$.
Então, $P(X_{(1)} > x) = [1 - F_X(x)]^n$.
Substituindo $F_X(x) = x/2$:
$P(X_{(1)} > x) = [1 - x/2]^n$.
Finalmente, $F_{X_{(1)}}(x) = 1 - P(X_{(1)} > x) = 1 - [1 - x/2]^n$.

(A) Incorreta: Esta expressão, $(1 - x/2)^n$, representa $P(X_{(1)} > x)$, que é o complemento da F.D.A. de $X_{(1)}$, e não a própria F.D.A.
(B) Incorreta: Esta expressão, $(x/2)^n$, seria a F.D.A. de $X_{(n)}$ (a maior estatística de ordem), ou seja, $F_{X_{(n)}}(x) = [F_X(x)]^n$. A armadilha aqui é confundir a fórmula da F.D.A. do mínimo com a do máximo.
(C) Correta: A expressão $[1 - (1 - x/2)^n]$ é a F.D.A. de $X_{(1)}$, derivada corretamente como $1 - [1 - F_X(x)]^n$.
(D) Incorreta: Esta expressão, $[1 - (x/2)^n]$, seria $1 - [F_X(x)]^n$, que representa $P(X_{(n)} > x)$, o complemento da F.D.A. da maior estatística de ordem.
(E) Incorreta: Esta expressão é uma constante e não uma função de $x$, o que não faz sentido para uma função de distribuição acumulada.