Questão de Estatística · FCC TRT17 2022 (nº 42)

Quando combinamos variáveis aleatórias independentes, a esperança da soma é a soma das esperanças, a variância da soma é a soma das variâncias, e a esperança do produto é o produto das esperanças.

• Dados de X: $X \sim N(\mu_X=2, \sigma_X=2)$.
  • $E(X) = 2$
  • $Var(X) = \sigma_X^2 = 2^2 = 4$
• Dados de Y: $Y \sim U(a=2, b=4)$.
  • $E(Y) = (a+b)/2 = (2+4)/2 = 6/2 = 3$
  • $Var(Y) = (b-a)^2/12 = (4-2)^2/12 = 2^2/12 = 4/12 = 1/3$

Cálculos:

1. Esperança de (X + Y): $E(X+Y) = E(X) + E(Y) = 2 + 3 = 5$.
2. Variância de (X + Y): Como X e Y são independentes, $Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y) = 4 + 1/3 = 12/3 + 1/3 = 13/3$.
3. Esperança de (XY): Como X e Y são independentes, $E(XY) = E(X) \times E(Y) = 2 \times 3 = 6$.

Os valores são 5, 13/3 e 6.

(A) Incorreta: Os valores de variância e esperança do produto não correspondem aos cálculos corretos.
(B) Incorreta: Os valores de esperança da soma e esperança do produto estão incorretos.
(C) Incorreta: O valor da esperança do produto está incorreto.
(D) Incorreta: Todos os valores estão incorretos.
(E) Correta: A esperança de (X+Y) é 5, a variância de (X+Y) é 13/3, e a esperança de (XY) é 6, conforme as propriedades de variáveis aleatórias independentes. A armadilha comum é esquecer que a propriedade $E(XY) = E(X)E(Y)$ só vale para variáveis independentes, ou aplicar $Var(X+Y) = Var(X) + Var(Y)$ sem a condição de independência (embora aqui ela seja dada).