Questão de Estatística · FCC TRT17 2022 (nº 40)

A função geradora de momentos (FGM) é uma ferramenta matemática que nos permite encontrar a média e a variância de uma variável aleatória sem precisar calcular integrais complexas. Para uma distribuição Gama, a FGM tem uma forma específica que nos ajuda a identificar seus parâmetros de forma e escala.

• (A) Incorreta: Esta alternativa não corresponde ao valor correto da variância relativa, que é obtido a partir dos parâmetros da distribuição Gama.

• (B) Incorreta: Esta alternativa não corresponde ao valor correto da variância relativa, que é obtido a partir dos parâmetros da distribuição Gama.

• (C) Incorreta: Esta alternativa não corresponde ao valor correto da variância relativa, que é obtido a partir dos parâmetros da distribuição Gama.

• (D) Incorreta: Esta alternativa não corresponde ao valor correto da variância relativa, que é obtido a partir dos parâmetros da distribuição Gama.

• (E) Correta: A função geradora de momentos (FGM) de uma variável aleatória $X$ que segue uma distribuição Gama com parâmetros de forma $\alpha$ e escala $\beta$ é dada por $M_X(t) = (1 - \beta t)^{-\alpha}$.
  Comparando a FGM fornecida no problema, $M_X(t) = (1 - 2t)^{-3}$, com a forma padrão, podemos identificar os parâmetros da distribuição Gama:

  • O parâmetro de escala $\beta = 2$.
  • O parâmetro de forma $\alpha = 3$.

  Para uma distribuição Gama($\alpha, \beta$), a média e a variância são dadas por:

  • Média $E[X] = \alpha \beta$
  • Variância $Var[X] = \alpha \beta^2$

  Substituindo os valores de $\alpha=3$ e $\beta=2$:

  • $E[X] = 3 \times 2 = 6$.
  • $Var[X] = 3 \times 2^2 = 3 \times 4 = 12$.

  A variância relativa de X é definida como a divisão da variância de X pelo quadrado da média de X:
  Variância Relativa $= \frac{Var[X]}{(E[X])^2} = \frac{12}{6^2} = \frac{12}{36}$.

  Simplificando a fração, obtemos:
  Variância Relativa $= \frac{1}{3}$.

  Armadilha da banca: A principal "pegadinha" aqui seria não lembrar a forma correta da FGM da distribuição Gama ou as fórmulas da média e variância. No entanto, para a distribuição Gama, a variância relativa é uma propriedade conhecida e é sempre igual a $1/\alpha$. Sabendo disso, bastaria identificar $\alpha=3$ da FGM para chegar à resposta $1/3$ diretamente, economizando tempo e evitando potenciais erros de cálculo.