Questão nº 41

Questão de Estatística · FCC TRT-14 2018 (nº 41)

FCC2018Analista Judiciário - Área Apoio Especializado - Especialidade EstatísticaEstatística

Em uma determinada data, o gerente comercial de uma fábrica de um produto marca X, concorrente somente com o produto de outro fabricante marca Y, insatisfeito com a participação de seu produto no mercado, decide fazer uma promoção de seu produto. Verifica então que com a promoção, mensalmente, 90% dos clientes que consumiam X continuaram a consumir X e 70% dos que consumiam Y passaram a consumir X. Seja a matriz de transição T abaixo:

& X & Y \\ \hline X & 0{,}90 & 0{,}10 \\ Y & 0{,}70 & 0{,}30 \end{array}$$ Se o gerente ao longo do tempo não interrompe a promoção, então a matriz estacionária S correspondente à matriz de transição T é igual a

A(0,850 0,150).
B(0,725 0,275).
C(0,875 0,125). (alternativa correta)
D(0,750 0,250).
E(0,840 0,160).

Resposta comentada

Gabarito Alternativa C

A matriz estacionária (ou distribuição de estado estacionário) em uma Cadeia de Markov representa a proporção de tempo que o sistema passa em cada estado (neste caso, a proporção de clientes que consomem X ou Y) após um longo período, quando as probabilidades de transição se estabilizam e as proporções não mudam mais. Para encontrá-la, resolvemos o sistema de equações $S \cdot T = S$ e $s_X + s_Y = 1$ , onde $S = (s_X \quad s_Y)$ é a matriz estacionária e $T$ é a matriz de transição.

Calculando:
Seja $S = (s_X \quad s_Y)$ a matriz estacionária.
Temos o sistema de equações:

$S \cdot T = S$
$(s_X \quad s_Y) \begin{pmatrix} 0.90 & 0.10 \ 0.70 & 0.30 \end{pmatrix} = (s_X \quad s_Y)$
Isso gera duas equações:
a) $0.90 s_X + 0.70 s_Y = s_X$
b) $0.10 s_X + 0.30 s_Y = s_Y\$
A soma das probabilidades deve ser 1:
c) $s_X + s_Y = 1$

Vamos simplificar a equação (a):
$0.70 s_Y = s_X - 0.90 s_X$
$0.70 s_Y = 0.10 s_X$
Dividindo ambos os lados por $0.10 $:$ 7 s_Y = s_X$

Agora, substituímos $s_X = 7 s_Y$ na equação (c):
$7 s_Y + s_Y = 1$
$8 s_Y = 1$
$s_Y = 1/8 = 0.125$

Com $s_Y = 0.125$ , encontramos $s_X$ :
$s_X = 7 \cdot 0.125 = 0.875$

Portanto, a matriz estacionária é $S = (0.875 \quad 0.125)$ .

(A) Incorreta: Esta alternativa não satisfaz as condições do sistema de equações $S \cdot T = S$ e $s_X + s_Y = 1$ .
(B) Incorreta: Esta alternativa não satisfaz as condições do sistema de equações $S \cdot T = S$ e $s_X + s_Y = 1$ .
(C) Correta: Esta alternativa é a solução do sistema de equações $S \cdot T = S$ e $s_X + s_Y = 1$ , representando a distribuição de probabilidade de longo prazo.
(D) Incorreta: Esta alternativa não satisfaz as condições do sistema de equações $S \cdot T = S$ e $s_X + s_Y = 1$ . A armadilha aqui pode ser um erro de cálculo ao resolver o sistema, como inverter a proporção entre $s_X$ e $s_Y$ .
(E) Incorreta: Esta alternativa não satisfaz as condições do sistema de equações $S \cdot T = S$ e $s_X + s_Y = 1$ .

Fonte: FCC TRT-14 2018 Analista Judiciário - Área Apoio Especializado - Especialidade Estatística (Caderno Tipo 1). Reproduzida para fins de estudo.

Questão de Estatística · FCC TRT-14 2018 (nº 41)

Resposta comentada

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