Questão de Estatística · FCC TRT-11 2017 (nº 43)

A Análise de Componentes Principais (PCA) é uma técnica que transforma um conjunto de variáveis correlacionadas em um novo conjunto de variáveis não correlacionadas, chamadas componentes principais. A primeira componente principal é a direção (um autovetor) que explica a maior parte da variância nos dados, e é associada ao maior autovalor da matriz de covariâncias.

Para encontrar o autovetor normalizado da primeira componente principal, seguimos os passos:

1. Calcular os autovalores ($\lambda$) da matriz de covariâncias $\Sigma$.
   $\Sigma = \begin{pmatrix} 5 & -2 \ -2 & 8 \end{pmatrix}$
   A equação característica é $\det(\Sigma - \lambda I) = 0$:
   $(5-\lambda)(8-\lambda) - (-2)(-2) = 0$
   $40 - 5\lambda - 8\lambda + \lambda^2 - 4 = 0$
   $\lambda^2 - 13\lambda + 36 = 0$
   Resolvendo a equação quadrática, obtemos os autovalores:
   $\lambda = \frac{13 \pm \sqrt{(-13)^2 - 4(1)(36)}}{2} = \frac{13 \pm \sqrt{169 - 144}}{2} = \frac{13 \pm \sqrt{25}}{2} = \frac{13 \pm 5}{2}$
   Os autovalores são $\lambda_1 = \frac{13+5}{2} = 9$ e $\lambda_2 = \frac{13-5}{2} = 4$.
2. Identificar o maior autovalor: O maior autovalor é $\lambda_1 = 9$, que corresponde à primeira componente principal.
3. Calcular o autovetor ($\mathbf{v}$) correspondente a $\lambda_1 = 9$:
   $(\Sigma - 9I)\mathbf{v} = \mathbf{0}$
   $\begin{pmatrix} 5-9 & -2 \ -2 & 8-9 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \end{pmatrix}$
   $\begin{pmatrix} -4 & -2 \ -2 & -1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} v_1 \ v_2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 \ 0 \end{pmatrix}$
   Isso nos dá o sistema de equações:
   $-4v_1 - 2v_2 = 0 \Rightarrow 2v_1 + v_2 = 0 \Rightarrow v_2 = -2v_1$
   $-2v_1 - v_2 = 0 \Rightarrow v_2 = -2v_1$
   Escolhendo $v_1 = 1$, obtemos $v_2 = -2$. Assim, um autovetor é $\begin{pmatrix} 1 \ -2 \end{pmatrix}$.
4. Normalizar o autovetor: Dividimos o autovetor por sua magnitude (norma).
   Magnitude $||\mathbf{v}|| = \sqrt{1^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 4} = \sqrt{5}$.
   O autovetor normalizado é $\frac{1}{\sqrt{5}} \begin{pmatrix} 1 \ -2 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1/\sqrt{5} \ -2/\sqrt{5} \end{pmatrix}$.

• (A) Correta: O autovetor normalizado calculado para o maior autovalor ($\lambda=9$) é $\begin{pmatrix} 1/\sqrt{5} \ -2/\sqrt{5} \end{pmatrix}$, que corresponde à primeira componente principal.
• (B) Incorreta: Este é o negativo do autovetor correto. Embora $-\mathbf{v}$ seja matematicamente um autovetor válido para o mesmo autovalor e represente a mesma direção, em questões de múltipla escolha, geralmente há uma convenção implícita (como o primeiro elemento não nulo ser positivo) ou apenas uma das opções é fornecida como correta. A armadilha é que, conceitualmente, ele representa a mesma componente principal, mas a banca escolheu a outra orientação.
• (C) Incorreta: Este vetor não é normalizado (sua magnitude não é 1) e não é um autovetor da matriz $\Sigma$ para nenhum dos autovalores encontrados.
• (D) Incorreta: Este vetor é normalizado, mas não é um autovetor da matriz $\Sigma$ para o autovalor $\lambda=9$. Ele está mais próximo da direção do autovetor da segunda componente principal, mas com um sinal invertido na segunda coordenada ($v_2 = 1/2 v_1$ para $\lambda=4$, enquanto aqui seria $v_2 = -1/2 v_1$).
• (E) Incorreta: Este vetor é normalizado, mas não é um autovetor da matriz $\Sigma$ para o autovalor $\lambda=9$. É o negativo do autovetor da segunda componente principal ($\begin{pmatrix} 2/\sqrt{5} \ 1/\sqrt{5} \end{pmatrix}$ para $\lambda=4$), com os elementos trocados e sinais ajustados incorretamente.