Questão de Matemática · FCC SEDU-ES 2018 (nº 69)

Para encontrar os pontos de interseção entre uma reta e uma circunferência, precisamos resolver o sistema de equações formado pela equação da reta e pela equação da circunferência. Os pontos (x, y) que satisfazem ambas as equações são os pontos de interseção.

Passo a passo da resolução:

1. Encontrar a equação da reta:
   A reta passa pelos pontos $(0, 0)$ e $(6, 2)$.
   O coeficiente angular ($m$) é $m = \frac{y_2 - y_1}{x_2 - x_1} = \frac{2 - 0}{6 - 0} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.
   Como a reta passa pela origem $(0, 0)$, a equação é $y = mx$, ou seja, $y = \frac{1}{3}x$.
   Podemos expressar $x$ em função de $y$: $x = 3y$.

2. Encontrar a equação da circunferência:
   O centro da circunferência é $(h, k) = (3, 1)$ e o raio ($r$) é $1$. A equação geral da circunferência é$(x - h)^2 + (y - k)^2 = r^2$. Substituindo os valores, temos:$(x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 1^2 \Rightarrow (x - 3)^2 + (y - 1)^2 = 1$.

3. Resolver o sistema de equações (encontrar os pontos de interseção):
   Substitua a equação da reta ($x = 3y$) na equação da circunferência:
   $(3y - 3)^2 + (y - 1)^2 = 1$
   Podemos fatorar o primeiro termo: $(3(y - 1))^2 + (y - 1)^2 = 1$
   $9(y - 1)^2 + (y - 1)^2 = 1$
   Combine os termos semelhantes: $10(y - 1)^2 = 1$
   $(y - 1)^2 = \frac{1}{10}$
   Tire a raiz quadrada de ambos os lados: $y - 1 = \pm\sqrt{\frac{1}{10}}$
   Racionalize o denominador: $y - 1 = \pm\frac{\sqrt{10}}{10}$
   Isolando $y$: $y = 1 \pm \frac{\sqrt{10}}{10}$

   As duas ordenadas (valores de $y$) dos pontos de interseção são:
   $y_1 = 1 + \frac{\sqrt{10}}{10} = \frac{10 + \sqrt{10}}{10}$
   y_2 = 1 - \frac{\sqrt{10}}{10} = \frac{10 - \sqrt{10}}{10}\

4. Identificar o ponto B:
   O problema afirma que "a ordenada de B é maior que a de A".
   Portanto, $y_B = \frac{10 + \sqrt{10}}{10}$.

5. Calcular a abscissa (valor de $x$) do ponto B:
   Use a equação da reta $x = 3y$:
   $x_B = 3 \times y_B$
   $x_B = 3 \times \left(\frac{10 + \sqrt{10}}{10}\right)$
   $x_B = \frac{30 + 3\sqrt{10}}{10}$

(A) Correta: $x = \dfrac{30+3\sqrt{10}}{10}$. Esta é a abscissa do ponto B, calculada corretamente a partir da interseção da reta e da circunferência, identificando B pela maior ordenada.
(B) Incorreta: $x = \dfrac{32+3\sqrt{14}}{10}$. Os valores numéricos (32, $\sqrt{14}$) não correspondem aos obtidos nos cálculos, indicando possíveis erros algébricos na resolução da equação quadrática ou na simplificação.
(C) Incorreta: $x = \dfrac{28+\sqrt{15}}{20}$. Os valores numéricos e o denominador (20) não correspondem aos cálculos corretos. O denominador 20 pode surgir de um erro ao multiplicar por 3 (se a equação da reta fosse $y = \frac{1}{3}x$ e se tivesse multiplicado por 2 em algum momento).
(D) Incorreta: $x = \dfrac{28+\sqrt{21}}{10}$. Os valores numéricos não correspondem aos obtidos nos cálculos, indicando erros na resolução ou simplificação.
(E) Incorreta: $x = \dfrac{30+4\sqrt{6}}{20}$. Os valores numéricos e o denominador (20) não correspondem aos cálculos corretos. A presença de $\sqrt{6}$ e o denominador 20 sugerem erros significativos na manipulação algébrica das raízes ou na substituição.