Questão de Matemática · FCC SEDU-ES 2018 (nº 38)

Quando um valor dobra repetidamente, ele segue uma Progressão Geométrica (PG), onde cada termo é o anterior multiplicado por uma razão constante de 2. A espessura inicial ($E_0$) é a espessura da folha sem dobras, e a espessura após $n$ dobras é $E_n = E_0 \times 2^n$.

• (A) Incorreta: Esta alternativa seria correta se a altura do arranha-céu fosse 2000 metros (2.000.000 mm) em vez de 200 metros, ou se a espessura inicial fosse 0,008 mm. É um distrator comum que testa a atenção aos detalhes e conversão de unidades.
• (B) Incorreta: Um valor muito alto, indicando um erro de cálculo de ordem de magnitude ou de interpretação da aplicação do logaritmo.
• (C) Incorreta: Este valor é muito baixo; 18 dobras não seriam suficientes para atingir a altura desejada.
• (D) Incorreta: Um valor excessivamente alto, sugerindo um erro grave na aplicação da fórmula ou nos cálculos logarítmicos.
• (E) Correta: A espessura inicial é $E_0 = 0,08$ mm. A altura do arranha-céu é 200 metros, que convertemos para milímetros: $200 \times 1000 = 200.000$ mm. Queremos encontrar o menor número de dobras $n$ tal que $E_n \ge 200.000$. Usando a fórmula da PG, $0,08 \times 2^n \ge 200.000$. Dividindo ambos os lados por 0,08, obtemos $2^n \ge \frac{200.000}{0,08} = 2.500.000$. Aplicando logaritmo (base 10, já que $\log 2 = 0,3$ é fornecido): $n \times \log 2 \ge \log(2.500.000)$. Substituindo $\log 2 = 0,3$ e calculando $\log(2.500.000) = \log(2,5 \times 10^6) = \log(2,5) + \log(10^6) = (\log 5 - \log 2) + 6 = (0,7 - 0,3) + 6 = 0,4 + 6 = 6,4$. Assim, $n \times 0,3 \ge 6,4 \implies n \ge \frac{6,4}{0,3} \implies n \ge 21,333...$. Como o número de dobras deve ser um número inteiro e precisamos atingir a altura, arredondamos para o próximo inteiro, que é 22.