Questão de Matemática · FCC SEDU-ES 2018 (nº 34)

Potenciação é uma forma abreviada de escrever uma multiplicação repetida de um mesmo número, chamado base, por ele mesmo um certo número de vezes, indicado pelo expoente. Por exemplo, $a^n$ significa $a$ multiplicado por si mesmo $n$ vezes. Para resolver este problema, precisamos usar as propriedades da potenciação, como $(a \times b)^n = a^n \times b^n$ e $\frac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$.

A) Correta: A quinta parte de 1 gugol é $\frac{1}{5} \times 10^{100}$.
Podemos reescrever $10^{100}$ como $(2 \times 5)^{100}$, que é igual a $2^{100} \times 5^{100}$.
Então, a expressão fica $\frac{1}{5} \times (2^{100} \times 5^{100})$.
Simplificando, temos $2^{100} \times \frac{5^{100}}{5^1} = 2^{100} \times 5^{100-1} = 2^{100} \times 5^{99}$.
Como "dugol" é definido como $2^{100}$, substituímos: $5^{99} \times \text{dugol}$.

B) Incorreta: Esta alternativa sugere uma manipulação incorreta dos expoentes ou bases. Não há propriedade que leve a $10^{20}$ a partir da divisão por 5.

C) Incorreta: Esta alternativa envolve um expoente negativo e um valor que não se relaciona com o cálculo correto.

D) Incorreta: Esta é a alternativa mais tentadora. A armadilha da banca é fazer o aluno pensar que dividir $10^{100}$ por 5 significa dividir a base por 5, resultando em $(10/5)^{100} = 2^{100}$. Isso está errado. A divisão por 5 afeta o valor total da potência, não apenas a base de forma direta. A forma correta é decompor a base em fatores primos e aplicar a divisão.

E) Incorreta: Esta alternativa implicaria que $\frac{1}{5} \times 10^{100} = 5^{100} \times 2^{100}$, o que é falso, pois $10^{100} = 2^{100} \times 5^{100}$, e a divisão por 5 resultaria em $2^{100} \times 5^{99}$, não $5^{100} \times 2^{100}$.