Questão de Matemática · FCC SEDU-ES 2018 (nº 63)

O Princípio Fundamental da Contagem (ou Princípio Multiplicativo) nos diz que, se uma decisão pode ser tomada de $X$ maneiras e, independentemente, outra decisão pode ser tomada de $Y$ maneiras, o número total de maneiras de tomar ambas as decisões é $X \times Y$. Para criar uma senha, a ordem dos caracteres importa.

• Algarismos ímpares: São {1, 3, 5, 7, 9}, totalizando 5 algarismos.
• Vogais: São {A, E, I, O, U}, totalizando 5 vogais.

A senha terá 3 caracteres: dois algarismos ímpares diferentes e uma vogal. A ordem desses 3 caracteres pode ser qualquer.

Para montar a senha, podemos seguir os seguintes passos:

1. Escolher o primeiro algarismo ímpar: Há 5 opções (1, 3, 5, 7 ou 9).
2. Escolher o segundo algarismo ímpar: Como deve ser diferente do primeiro, restam 4 opções.
   • Neste ponto, já escolhemos 2 algarismos ímpares em uma ordem específica (ex: 1 e 3 é diferente de 3 e 1 para a escolha inicial).
3. Escolher a vogal: Há 5 opções (A, E, I, O ou U).
   • Agora temos 3 caracteres específicos selecionados (ex: o algarismo 1, o algarismo 3, e a vogal A).
4. Organizar esses 3 caracteres: Como a senha pode ser "em qualquer ordem", os 3 caracteres escolhidos (que são distintos entre si, pois os algarismos são diferentes e uma vogal não é algarismo) podem ser permutados de $3!$ maneiras.
   • $3! = 3 \times 2 \times 1 = 6$ maneiras.

Aplicando o Princípio Fundamental da Contagem, multiplicamos as possibilidades de cada passo:
Total de senhas = (Escolha do 1º algarismo) $\times$ (Escolha do 2º algarismo) $\times$ (Escolha da vogal) $\times$ (Permutação dos 3 caracteres)
Total de senhas = $5 \times 4 \times 5 \times 3!$
Total de senhas = $20 \times 5 \times 6$
Total de senhas = $100 \times 6$
Total de senhas = $600$.

(A) Correta: O cálculo $5 \times 4 \times 5 \times 3! = 600$ reflete a escolha ordenada dos dois algarismos ímpares e da vogal, seguida da permutação desses três elementos distintos.
(B) Incorreta: Não há um raciocínio combinatório padrão que leve a 450 neste contexto.
(C) Incorreta: Esta é a "pegadinha". Se o aluno primeiro escolhe um conjunto de 2 algarismos ímpares ($C(5,2) = 10$ maneiras), depois a vogal ($C(5,1) = 5$ maneiras) e, por fim, permuta os 3 caracteres ($3! = 6$maneiras), o resultado seria$10 \times 5 \times 6 = 300$. A armadilha é que "dois algarismos ímpares diferentes" no contexto de uma senha (onde a ordem importa) deve ser interpretado como uma escolha ordenada para os algarismos (primeiro um, depois outro diferente), o que é$P(5,2) = 5 \times 4 = 20$, e não um conjunto de algarismos.
(D) Incorreta: Não há um raciocínio combinatório padrão que leve a 900 neste contexto.
(E) Incorreta: Não há um raciocínio combinatório padrão que leve a 550 neste contexto.