Questão de Matemática · FCC SEDU-ES 2018 (nº 61)

Para resolver essa questão, precisamos primeiro encontrar o valor do seno do ângulo dado e depois verificar qual alternativa tem o cosseno com esse mesmo valor. O conceito-chave é a redução ao primeiro quadrante, que nos permite encontrar o valor de funções trigonométricas para ângulos maiores que $\pi/2$ (ou $90^\circ$) usando um ângulo equivalente no primeiro quadrante, ajustando o sinal de acordo com o quadrante original.

• Passo 1: Calcular $\sin \dfrac{2\pi}{3}$.

  • O ângulo $\dfrac{2\pi}{3}$ está no segundo quadrante (pois $\dfrac{\pi}{2} < \dfrac{2\pi}{3} < \pi$).
  • Para reduzir ao primeiro quadrante, subtraímos de $\pi$: $\pi - \dfrac{2\pi}{3} = \dfrac{3\pi - 2\pi}{3} = \dfrac{\pi}{3}$.
  • No segundo quadrante, o seno é positivo.
  • Portanto, $\sin \dfrac{2\pi}{3} = \sin \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
  • Agora, precisamos encontrar qual alternativa tem o cosseno igual a $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.

• Passo 2: Avaliar as alternativas.

(A) Incorreta: $\cos \dfrac{2\pi}{3}$. Este ângulo está no segundo quadrante, onde o cosseno é negativo. $\cos \dfrac{2\pi}{3} = -\cos \dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}$, que é diferente de $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.
(B) Incorreta: $\cos \dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}$, que é diferente de $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. A armadilha aqui é confundir os valores de seno e cosseno para $\pi/3$ ou $\pi/6$.
(C) Incorreta: $\cos \dfrac{7\pi}{6}$. Este ângulo está no terceiro quadrante (pois $\pi < \dfrac{7\pi}{6} < \dfrac{3\pi}{2}$). O ângulo de referência é $\dfrac{7\pi}{6} - \pi = \dfrac{\pi}{6}$. No terceiro quadrante, o cosseno é negativo. Portanto, $\cos \dfrac{7\pi}{6} = -\cos \dfrac{\pi}{6} = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}$. A armadilha da banca é que o valor absoluto é o mesmo, mas o sinal está errado.
(D) Correta: $\cos \dfrac{\pi}{6}$. Sabemos que $\cos \dfrac{\pi}{6} = \dfrac{\sqrt{3}}{2}$. Este valor é exatamente igual a $\sin \dfrac{2\pi}{3}$.
(E) Incorreta: $\cos \dfrac{4\pi}{3}$. Este ângulo está no terceiro quadrante (pois $\pi < \dfrac{4\pi}{3} < \dfrac{3\pi}{2}$). O ângulo de referência é $\dfrac{4\pi}{3} - \pi = \dfrac{\pi}{3}$. No terceiro quadrante, o cosseno é negativo. Portanto, $\cos \dfrac{4\pi}{3} = -\cos \dfrac{\pi}{3} = -\dfrac{1}{2}$, que é diferente de $\dfrac{\sqrt{3}}{2}$.