Questão de Matemática · FCC SEDU-ES 2018 (nº 59)

Juros compostos significa que o juro de cada período é calculado sobre o montante (capital inicial mais os juros acumulados) do período anterior, e não apenas sobre o capital inicial. Isso faz com que o crescimento seja acelerado, pois você ganha "juros sobre juros". A fórmula geral para o montante final é $M = C \times (1 + i)^t$, onde $M$ é o montante final, $C$ é o capital inicial, $i$ é a taxa de juros por período e $t$ é o número de períodos.

Para resolver a questão:

1. Calcule o fator de reajuste total do cenário original:
   O produto sofreu 4 reajustes mensais de 10%. Se o preço inicial for $P_0$, o preço final $P$ será:
   $P = P_0 \times (1 + 0.10)^4$
   $P = P_0 \times (1.10)^4$
   P = P_0 \times 1.4641\

2. Determine a taxa bimestral equivalente para o novo cenário:
   No novo cenário, há 2 reajustes bimestrais iguais. Um bimestre corresponde a 2 meses. Como o período total é de 4 meses (4 reajustes mensais), teremos $4 / 2 = 2$bimestres. Seja$i_b$a taxa bimestral que buscamos. O preço final$P$seria:$P = P_0 \times (1 + i_b)^2$

3. Iguale os dois cenários e resolva para $i_b$:
   $P_0 \times (1.10)^4 = P_0 \times (1 + i_b)^2$
   Dividindo ambos os lados por $P_0$:
   $(1.10)^4 = (1 + i_b)^2$
   $1.4641 = (1 + i_b)^2$
   Para encontrar $1 + i_b$, tiramos a raiz quadrada de ambos os lados:
   $1 + i_b = \sqrt{1.4641}$
   $1 + i_b = 1.21$
   $i_b = 1.21 - 1$
   i_b = 0.21\

4. Converta a taxa para porcentagem:
   $i_b = 0.21 \times 100\% = 21\%$

• (A) Incorreta: Não corresponde ao cálculo da taxa bimestral necessária para igualar os montantes sob juros compostos.
• (B) Incorreta: Não corresponde ao cálculo da taxa bimestral necessária para igualar os montantes sob juros compostos.
• (C) Incorreta: Não corresponde ao cálculo da taxa bimestral necessária para igualar os montantes sob juros compostos.
• (D) Incorreta: Esta alternativa pode ser tentadora se o aluno confundir juros compostos com juros simples ou tentar uma média incorreta. Se o cálculo fosse feito como juros simples sobre os 2 bimestres (ou seja, $P_0 \times (1 + i_b \times 2) = P_0 \times 1.4641 \implies 1 + 2i_b = 1.4641 \implies 2i_b = 0.4641 \implies i_b \approx 23.2\%$), o resultado seria próximo a 24%, mas a questão claramente implica juros compostos ("reajustes seguidos"). A armadilha aqui é tratar o problema como juros simples para os reajustes bimestrais.
• (E) Correta: A taxa bimestral de 21% é a taxa que, aplicada duas vezes em regime de juros compostos, resulta no mesmo fator de reajuste de 4 reajustes mensais de 10%. Isso porque $(1 + 0.21)^2 = (1.21)^2 = 1.4641$, que é igual a $(1.10)^4$.