Questão de Matemática · FCC SEDU-ES 2018 (nº 55)

Para comparar duas funções e descobrir onde uma é "maior" que a outra, precisamos resolver uma inequação. O resultado será um intervalo de valores de $x$. Depois, para encontrar o comprimento de um segmento de reta, usamos a fórmula da distância entre dois pontos.

• Passo 1: Entender a condição.
  Queremos que as imagens da função $y = x + 3$ sejam maiores do que as imagens da função $y = 2^x + 1$. Isso se traduz na inequação:
  $x + 3 > 2^x + 1$

• Passo 2: Simplificar a inequação.
  Subtraindo 1 de ambos os lados, obtemos:
  $x + 2 > 2^x$

• Passo 3: Resolver a inequação para $x \ge 0$.
  Essa inequação não é facilmente resolvida algebricamente. Precisamos encontrar os pontos onde $x + 2 = 2^x$ e analisar o comportamento das funções.
  Vamos testar valores inteiros de $x$ a partir de $x=0$:

  • Para $x=0$: $0+2 = 2$e$2^0 = 1. Como \2 > 1$, a condição$x+2 > 2^x$ é satisfeita.
  • Para $x=1$: $1+2 = 3$e$2^1 = 2. Como \3 > 2$, a condição$x+2 > 2^x$ é satisfeita.
  • Para $x=2$: $2+2 = 4$e$2^2 = 4. Como \4 = 4$, este é um ponto onde as funções se encontram.
  • Para $x=3$: $3+2 = 5$e$2^3 = 8. Como \5 < 8$, a condição$x+2 > 2^x$NÃO é satisfeita. A função exponencial$2^x$cresce mais rapidamente que a função linear$x+2$para$x > 2$. Portanto, para$x \ge 0$, a inequação$x + 2 > 2^x$é verdadeira para$0 \le x < 2$. O segmento de reta que nos interessa corresponde aos valores de$x$no intervalo$[0, 2]$.

• Passo 4: Encontrar os pontos extremos do segmento na reta $y = x + 3$.
  Os valores de $x$ que delimitam o intervalo são $x_1 = 0$ e $x_2 = 2$.

  • Para $x_1 = 0$: $y_1 = 0 + 3 = 3$. O primeiro ponto é $P_1 = (0, 3)$.
  • Para $x_2 = 2$: $y_2 = 2 + 3 = 5$. O segundo ponto é $P_2 = (2, 5)$.

• Passo 5: Calcular o comprimento do segmento.
  Usamos a fórmula da distância entre dois pontos $P_1(x_1, y_1)$ e $P_2(x_2, y_2)$:
  $D = \sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}$
  $D = \sqrt{(2 - 0)^2 + (5 - 3)^2}$
  $D = \sqrt{(2)^2 + (2)^2}$
  $D = \sqrt{4 + 4}$
  $D = \sqrt{8}$
  $D = \sqrt{4 \times 2}$
  $D = 2\sqrt{2}$.

(A) Incorreta: O valor $3\sqrt{2}$ seria obtido se o intervalo de $x$ fosse de comprimento 3 (por exemplo, de $x=0$ a $x=3$), o que não é o caso aqui.
(B) Incorreta: O valor 2 representa apenas o comprimento do intervalo no eixo $x$ (de $0 a \2$), ou a diferença nas coordenadas$y (de \3 a \5$), mas não o comprimento do segmento de reta na diagonal. **Armadilha:** É um distrator comum confundir o comprimento do intervalo no eixo$x$com o comprimento do segmento de reta. **(C) Correta:** Conforme os cálculos detalhados acima, o comprimento do segmento de reta é$2\sqrt{2}$. **(D) Incorreta:** O valor$\sqrt{2}$seria obtido se o segmento tivesse coordenadas$(1,1)$e$(2,2)$, ou se houvesse um erro de cálculo, como$\sqrt{4+4} = \sqrt{4} = 2$, e depois dividido por$\sqrt{2}$sem motivo. **(E) Incorreta:** O valor 3 não corresponde ao comprimento do segmento calculado. Seria o caso se o segmento fosse de$(0,0)$a$(0,3)$ou de$(0,0)$a$(3,0)$, por exemplo.