Questão de Matemática · FCC SEDU-ES 2018 (nº 53)

O domínio de uma função são os valores que a variável $x$ pode assumir, e a imagem são os valores resultantes para $y$. Para uma função quadrática $y = ax^2 + bx + c$, se $a < 0$ (parábola "abre para baixo"), ela tem um valor máximo no seu vértice, mas não tem valor mínimo se o domínio for o conjunto dos números reais. Se o domínio for um conjunto discreto de pontos, a imagem será um conjunto discreto de valores, e o máximo ou mínimo será o maior ou menor valor calculado entre eles.

(A) Incorreta: Este valor não corresponde aos cálculos corretos da maior imagem de J (16) e da menor imagem de K (-20).
(B) Incorreta: Este valor não corresponde aos cálculos corretos. A diferença correta é 36.
(C) Correta: A função J, $y = -x^2 + 2x + 15$, tem domínio $\mathbb{R}$. Por ser uma parábola com $a = -1 < 0$, seu valor máximo ocorre no vértice. A coordenada $x$ do vértice é $x_v = -b/(2a) = -2/(2 \cdot (-1)) = 1$. A maior imagem de J é $y_v = -(1)^2 + 2(1) + 15 = -1 + 2 + 15 = 16$.
A função K, $y = -x^2 + 2x + 15$, tem domínio $\{-4,-3,-2,3,4,5,6,7\}$. Para encontrar a menor imagem de K, devemos calcular $y$ para cada valor do domínio:
$y(-4) = -(-4)^2 + 2(-4) + 15 = -16 - 8 + 15 = -9$
$y(-3) = -(-3)^2 + 2(-3) + 15 = -9 - 6 + 15 = 0$
$y(-2) = -(-2)^2 + 2(-2) + 15 = -4 - 4 + 15 = 7$
$y(3) = -(3)^2 + 2(3) + 15 = -9 + 6 + 15 = 12$
$y(4) = -(4)^2 + 2(4) + 15 = -16 + 8 + 15 = 7$
$y(5) = -(5)^2 + 2(5) + 15 = -25 + 10 + 15 = 0$
$y(6) = -(6)^2 + 2(6) + 15 = -36 + 12 + 15 = -9$
$y(7) = -(7)^2 + 2(7) + 15 = -49 + 14 + 15 = -20$
A menor imagem de K é $-20$. A diferença pedida é (Maior Imagem de J) - (Menor Imagem de K) $= 16 - (-20) = 16 + 20 = 36$.
(D) Incorreta: Esta alternativa é um distrator. Ela seria obtida se o aluno calculasse a maior imagem de K (que é 12, para $x=3$) em vez da menor imagem de K. A diferença seria $16 - 12 = 4$. A armadilha da banca é confundir "menor imagem" com "maior imagem" para a função K.
(E) Incorreta: Este valor não corresponde aos cálculos corretos.