Questão de Matemática · FCC SEDU-ES 2018 (nº 50)

Em um triângulo retângulo, a altura traçada para a hipotenusa (o lado oposto ao ângulo reto) cria relações especiais entre os lados do triângulo e as projeções dos catetos sobre a hipotenusa. Essas são as relações métricas.

Cálculo:
Seja $h$ a altura relativa à hipotenusa, $c_1$ e $c_2$ os catetos, e $a$ a hipotenusa.
Temos $h = 12$ cm e um cateto, digamos $c_1 = 15$ cm. Queremos encontrar o outro cateto, $c_2$.

1. Encontrar a projeção do cateto dado na hipotenusa:
   Chamemos a projeção de $c_1$ de $m$. No triângulo retângulo menor formado pelo cateto $c_1$, a altura $h$ e a projeção $m$, temos pelo Teorema de Pitágoras:
   $c_1^2 = h^2 + m^2$
   $15^2 = 12^2 + m^2$
   $225 = 144 + m^2$
   $m^2 = 225 - 144$
   $m^2 = 81$
   $m = \sqrt{81} = 9$ cm.

2. Encontrar a projeção do outro cateto na hipotenusa:
   Usamos a relação métrica $h^2 = m \cdot n$, onde $n$ é a projeção do outro cateto $c_2$ na hipotenusa.
   $12^2 = 9 \cdot n$
   $144 = 9n$
   $n = \frac{144}{9} = 16$ cm.

3. Encontrar a hipotenusa:
   A hipotenusa $a$ é a soma das projeções: $a = m + n$.
   $a = 9 + 16 = 25$ cm.

4. Encontrar o outro cateto:
   Podemos usar a relação métrica $c_2^2 = a \cdot n$ ou o Teorema de Pitágoras no triângulo maior ($a^2 = c_1^2 + c_2^2$).
   Usando $c_2^2 = a \cdot n$:
   $c_2^2 = 25 \cdot 16$
   $c_2 = \sqrt{25 \cdot 16}$
   $c_2 = 5 \cdot 4$
   $c_2 = 20$ cm.

   Ou usando o Teorema de Pitágoras:
   $25^2 = 15^2 + c_2^2$
   $625 = 225 + c_2^2$
   $c_2^2 = 625 - 225$
   $c_2^2 = 400$
   $c_2 = \sqrt{400} = 20$ cm.

(A) Incorreta: O valor 24 não é obtido por nenhuma das relações métricas corretas com os dados fornecidos.
(B) Incorreta: O valor 18 não é obtido por nenhuma das relações métricas corretas com os dados fornecidos.
(C) Incorreta: O valor 22 não é obtido por nenhuma das relações métricas corretas com os dados fornecidos.
(D) Incorreta: (Armadilha da banca) O valor 16 é a projeção do cateto que estamos procurando sobre a hipotenusa ($n=16$), e não o cateto em si. É um distrator comum para quem calcula as projeções mas esquece de dar o último passo para encontrar o cateto.
(E) Correta: O outro cateto mede 20 cm, conforme calculado usando as relações métricas do triângulo retângulo ($c_2^2 = a \cdot n$ ou $a^2 = c_1^2 + c_2^2$).