Questão de Matemática · FCC SEDU-ES 2018 (nº 48)

Para encontrar os pontos de interseção de duas funções, igualamos suas expressões e resolvemos a equação resultante. No caso de funções trigonométricas, isso geralmente envolve o uso de identidades trigonométricas para simplificar a equação e encontrar os valores de $x$ que satisfazem a igualdade.

Análise das alternativas:

• (A) Incorreta: Se a abscissa fosse $405^\circ$, teríamos $\sin 405^\circ = \sin(360^\circ+45^\circ) = \sin 45^\circ = \frac{\sqrt{2}}{2}$ e $\sin(2 \cdot 405^\circ) = \sin 810^\circ = \sin(2 \cdot 360^\circ + 90^\circ) = \sin 90^\circ = 1$. Como $\frac{\sqrt{2}}{2} \neq 1$, $405^\circ$ não é um ponto de interseção.
• (B) Correta: Para encontrar as interseções, igualamos as funções: $\sin x = \sin 2x$. Usando a identidade $\sin 2x = 2 \sin x \cos x$, temos:
  $\sin x = 2 \sin x \cos x$
  $2 \sin x \cos x - \sin x = 0$
  $\sin x (2 \cos x - 1) = 0$
  Isso implica que $\sin x = 0$ ou $2 \cos x - 1 = 0$.
  1. Se $\sin x = 0$, então $x = k\pi$ (ou $0^\circ, 180^\circ, 360^\circ, \dots$). Esses são os pontos de interseção no eixo x.
  2. Se $2 \cos x - 1 = 0$, então $\cos x = \frac{1}{2}$. Os valores de $x$ para os quais $\cos x = \frac{1}{2}$ são $x = \frac{\pi}{3} + 2k\pi$ ou $x = \frac{5\pi}{3} + 2k\pi$, onde $k$ é um número inteiro.
     Em graus, essas soluções são $x = 60^\circ + k \cdot 360^\circ$ ou $x = 300^\circ + k \cdot 360^\circ$.
     Analisando o gráfico, o ponto P é a primeira interseção após $x = 2\pi$ (ou $360^\circ$) onde $y \neq 0$.
     Para $k=0$, as soluções são $60^\circ$ e $300^\circ$.
     Para $k=1$, as soluções são $60^\circ + 360^\circ = 420^\circ$ e $300^\circ + 360^\circ = 660^\circ$.
     O ponto P no gráfico está no intervalo $(360^\circ, 540^\circ)$. A única solução que se encaixa nesse intervalo e não está no eixo x é $420^\circ$.
• (C) Incorreta: $435^\circ$ não é um ângulo que satisfaz $\cos x = \frac{1}{2}$ nem $\sin x = 0$.
• (D) Incorreta: Se a abscissa fosse $390^\circ$, teríamos $\sin 390^\circ = \sin(360^\circ+30^\circ) = \sin 30^\circ = \frac{1}{2}$ e $\sin(2 \cdot 390^\circ) = \sin 780^\circ = \sin(2 \cdot 360^\circ + 60^\circ) = \sin 60^\circ = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Como $\frac{1}{2} \neq \frac{\sqrt{3}}{2}$, $390^\circ$ não é um ponto de interseção. Armadilha: Um erro comum seria confundir $60^\circ$ com $30^\circ$ ao adicionar $360^\circ$, levando a $390^\circ$.
• (E) Incorreta: Se a abscissa fosse $450^\circ$, teríamos $\sin 450^\circ = \sin(360^\circ+90^\circ) = \sin 90^\circ = 1$ e $\sin(2 \cdot 450^\circ) = \sin 900^\circ = \sin(2 \cdot 360^\circ + 180^\circ) = \sin 180^\circ = 0$. Como $1 \neq 0$, $450^\circ$ não é um ponto de interseção.