Questão de Matemática · FCC SEDU-ES 2018 (nº 42)

O volume de uma pirâmide é calculado multiplicando um terço da área da sua base pela sua altura ($V = \frac{1}{3} \cdot A_{base} \cdot h$). Para uma pirâmide quadrangular regular, a base é um quadrado, então sua área é o lado ao quadrado ($A_{base} = L^2$).

• Cálculo Inicial:
  Seja $L_1$ a aresta da base original e $H_1$ a altura original.
  O volume original é $V_1 = \frac{1}{3} \cdot L_1^2 \cdot H_1$.

• Cálculo Modificado:
  A aresta da base foi reduzida em 50%, então a nova aresta é $L_2 = L_1 - 0.50 L_1 = 0.5 L_1 = \frac{1}{2} L_1$.
  A nova área da base será $A_{base2} = L_2^2 = \left(\frac{1}{2} L_1\right)^2 = \frac{1}{4} L_1^2$.
  A altura foi aumentada em $x\%$, então a nova altura é $H_2 = H_1 + \frac{x}{100} H_1 = H_1 \left(1 + \frac{x}{100}\right)$.
  O novo volume é $V_2 = \frac{1}{3} \cdot A_{base2} \cdot H_2 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} L_1^2 \cdot H_1 \left(1 + \frac{x}{100}\right)$.

• Condição de Volume Inalterado:
  Como o volume não se alterou, $V_1 = V_2$.
  $\frac{1}{3} L_1^2 H_1 = \frac{1}{3} \cdot \frac{1}{4} L_1^2 H_1 \left(1 + \frac{x}{100}\right)$
  Podemos cancelar os termos comuns $\frac{1}{3} L_1^2 H_1$ de ambos os lados:
  $1 = \frac{1}{4} \left(1 + \frac{x}{100}\right)$
  Multiplicando ambos os lados por 4:
  $4 = 1 + \frac{x}{100}$
  Subtraindo 1 de ambos os lados:
  $3 = \frac{x}{100}$
  Multiplicando ambos os lados por 100:
  $x = 300$.

Comentário das Alternativas:

• (A) Incorreta: O valor de 250 não se alinha com os cálculos de proporção de volume.
• (B) Incorreta: O valor de 350 não se alinha com os cálculos de proporção de volume.
• (C) Incorreta: Esta seria a resposta se o aluno esquecesse de elevar ao quadrado a redução da aresta da base, tratando a área como se tivesse sido reduzida em 50% (em vez de 75%, pois $1/4$da área original significa uma redução de 75$L^2$, e não$L$, o que levaria a$1 = \frac{1}{2} (1 + \frac{x}{100}) \Rightarrow x = 100$.
• (D) Incorreta: O valor de 200 não se alinha com os cálculos de proporção de volume.
• (E) Correta: Para que o volume permaneça o mesmo, se a área da base se tornou 1/4 da original (pois a aresta foi reduzida pela metade, e a área é o quadrado da aresta, $(1/2)^2 = 1/4$), a altura deve ser multiplicada por 4. Se a nova altura $H_2 = 4H_1$, e $H_2 = H_1 (1 + \frac{x}{100})$, então $4H_1 = H_1 (1 + \frac{x}{100})$, o que implica $4 = 1 + \frac{x}{100}$, resultando em $\frac{x}{100} = 3$, ou $x = 300$.