Questão de Matemática · FCC SEDU-ES 2018 (nº 41)

A multiplicação de matrizes é comutativa se a ordem dos fatores não altera o produto, ou seja, para duas matrizes $A$ e $B$, temos $A \times B = B \times A$. Caso contrário, a operação não é comutativa.

(A) Incorreta: Multiplicando as matrizes, obtemos $AB = \begin{bmatrix} 8 & 5 \ 20 & 13 \end{bmatrix}$ e $BA = \begin{bmatrix} 13 & 20 \ 5 & 8 \end{bmatrix}$. Como $AB \neq BA$, elas não comutam.
(B) Incorreta: Multiplicando as matrizes, obtemos $AB = \begin{bmatrix} 3 & 3 \ 6 & 6 \end{bmatrix}$ e $BA = \begin{bmatrix} 6 & 6 \ 3 & 3 \end{bmatrix}$. Como $AB \neq BA$, elas não comutam. A armadilha da banca aqui é apresentar matrizes com números que parecem "simétricos" ou "permutados" (as linhas de uma são as linhas da outra em ordem diferente), levando o aluno a supor que comutam sem fazer o cálculo.
(C) Correta: Multiplicando as matrizes, obtemos $AB = \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 2 \ 0 & 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (1 \cdot 3 + 2 \cdot 0) & (1 \cdot 2 + 2 \cdot 3) \ (0 \cdot 3 + 1 \cdot 0) & (0 \cdot 2 + 1 \cdot 3) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 8 \ 0 & 3 \end{bmatrix}$. E $BA = \begin{bmatrix} 3 & 2 \ 0 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \ 0 & 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (3 \cdot 1 + 2 \cdot 0) & (3 \cdot 2 + 2 \cdot 1) \ (0 \cdot 1 + 3 \cdot 0) & (0 \cdot 2 + 3 \cdot 1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 8 \ 0 & 3 \end{bmatrix}$. Como $AB = BA$, essas matrizes comutam. Este é um exemplo de um caso geral onde matrizes da forma $\begin{bmatrix} a & b \ 0 & a \end{bmatrix}$ e $\begin{bmatrix} c & d \ 0 & c \end{bmatrix}$ sempre comutam.
(D) Incorreta: Multiplicando as matrizes, obtemos $AB = \begin{bmatrix} 2 & 2 \ 1 & 1 \end{bmatrix}$ e $BA = \begin{bmatrix} 2 & 1 \ 2 & 1 \end{bmatrix}$. Como $AB \neq BA$, elas não comutam.
(E) Incorreta: Multiplicando as matrizes, obtemos $AB = \begin{bmatrix} 0 & 1 \ 0 & 2 \end{bmatrix}$ e $BA = \begin{bmatrix} 2 & 1 \ 0 & 0 \end{bmatrix}$. Como $AB \neq BA$, elas não comutam.