Questão de Estatística · FGV TJDFT 2022 (nº 43)

O tamanho da amostra é crucial para garantir que a estimativa de uma média populacional seja precisa e confiável. Ele é determinado pela variabilidade dos dados (variância), pelo nível de confiança desejado e pela amplitude máxima permitida para o intervalo de confiança.

Para um intervalo de confiança de 95% para a média, com variância populacional conhecida, a fórmula da amplitude (A) é $A = 2 \times Z_{\alpha/2} \frac{\sigma}{\sqrt{n}}$, onde $Z_{\alpha/2}$ é o valor crítico (1.96 para 95%), $\sigma$ é o desvio padrão populacional e $n$ é o tamanho da amostra.

Dados:

• Variância ($\sigma^2$) = 40.000 $\implies$ Desvio Padrão ($\sigma$) = $\sqrt{40.000} = 200$.
• Nível de Confiança = 95% $\implies Z_{\alpha/2} = 1.96$.
• Amplitude Máxima (A) = 200.

Substituindo na fórmula e resolvendo para $n$:
$200 = 2 \times 1.96 \times \frac{200}{\sqrt{n}}$
Dividindo ambos os lados por 200:
$1 = 2 \times 1.96 \times \frac{1}{\sqrt{n}}$
$1 = 3.92 \times \frac{1}{\sqrt{n}}$
$\sqrt{n} = 3.92$
$n = (3.92)^2$
$n = 15.3664$

Como o tamanho da amostra deve ser um número inteiro e precisamos garantir que a amplitude não exceda 200, devemos arredondar o resultado para o próximo número inteiro superior.

• (A) Correta: O cálculo do tamanho mínimo da amostra resulta em $n = 15.3664$. Para que a condição da amplitude máxima de 200 seja atendida, o tamanho da amostra deve ser arredondado para cima, resultando em 16.
• (B) Incorreta: Arredondar para 15 faria com que a amplitude do intervalo de confiança fosse ligeiramente maior que 200 (aproximadamente 202.4), não atendendo à condição estabelecida. Esta é a armadilha da banca: arredondar para baixo quando o cálculo do tamanho mínimo da amostra exige arredondamento para cima.
• (C) Incorreta: Um tamanho de amostra de 5 é muito pequeno e produziria um intervalo de confiança com uma amplitude muito maior que 200.
• (D) Incorreta: Um tamanho de amostra de 4 é muito pequeno e produziria um intervalo de confiança com uma amplitude muito maior que 200.
• (E) Incorreta: Um tamanho de amostra de 3 é muito pequeno e produziria um intervalo de confiança com uma amplitude muito maior que 200.