Questão de Estatística · FGV TJ-SE Servidor 2023 (nº 54)

O estimador de máxima verossimilhança (EMV) é o valor do parâmetro que torna a amostra observada mais provável de acontecer. Para a distribuição de Poisson, a característica crucial é que sua média ($\lambda$) é igual à sua variância ($\lambda$), e o desvio padrão é a raiz quadrada da variância.

(A) Correta: Para uma distribuição de Poisson, a média é $\lambda$ e a variância também é $\lambda$. Consequentemente, o desvio padrão é $\sigma = \sqrt{\lambda}$. O Estimador de Máxima Verossimilhança (EMV) da média $\lambda$ para uma amostra de Poisson é a média amostral, $\hat{\lambda}_{MLE} = \bar{X} = \frac{1}{n}\sum_{i=1}^{n} X_i$. Pela propriedade de invariância dos EMVs, se $\hat{\lambda}_{MLE}$ é o EMV de $\lambda$, então $g(\hat{\lambda}_{MLE})$ é o EMV de $g(\lambda)$. Assim, o EMV do desvio padrão $\sigma = \sqrt{\lambda}$ é $\sqrt{\hat{\lambda}_{MLE}} = \sqrt{\bar{X}} = \sqrt{\dfrac{1}{n}\displaystyle\sum_{i=1}^{n} X_i}$.
(B) Incorreta: Esta expressão não corresponde ao EMV do desvio padrão, pois envolve a soma dos quadrados das observações, não a média das observações.
(C) Incorreta: Similar à alternativa (B), mas com $n-1$ no denominador, esta expressão também não é o EMV do desvio padrão.
(D) Incorreta: Armadilha da banca: Esta é a fórmula do desvio padrão amostral (com $n$ no denominador), que é o EMV do desvio padrão para distribuições gerais (como a Normal) onde a média e a variância são parâmetros independentes. No entanto, para a distribuição de Poisson, a variância é igual à média ($\text{Var}(X) = \lambda$). Portanto, o EMV do desvio padrão deve refletir essa relação, sendo $\sqrt{\hat{\lambda}_{MLE}}$.
(E) Incorreta: Esta é a fórmula do desvio padrão amostral não viesado (com $n-1$ no denominador), um estimador geral para o desvio padrão, mas não o EMV para a distribuição de Poisson, pois não utiliza a propriedade específica de que a variância é igual à média.