Questão de Estatística · FGV TJ-AP 2024 (nº 79)

O teste Qui-Quadrado (Chi-Square) é usado para comparar frequências observadas (o que realmente aconteceu) com frequências esperadas (o que se esperaria se uma hipótese fosse verdadeira), verificando se a diferença é estatisticamente significativa. O p-valor é a probabilidade de obter resultados tão extremos ou mais extremos do que os observados, assumindo que a hipótese inicial (hipótese nula) é verdadeira. Um p-valor pequeno (geralmente < 0,05) sugere que a hipótese nula deve ser rejeitada.

Para resolver a questão, seguimos os passos do teste Qui-Quadrado:

1. Hipótese Nula ($H_0$): A moeda é honesta (P(Cara) = 0,5; P(Coroa) = 0,5).
2. Frequências Observadas ($O_i$): Cara = 60, Coroa = 40.
3. Frequências Esperadas ($E_i$) sob $H_0$: Para 100 lançamentos, Cara = 100 * 0,5 = 50, Coroa = 100 * 0,5 = 50.
4. Graus de Liberdade (df): (Número de categorias - 1) = (2 - 1) = 1.
5. Cálculo da Estatística Qui-Quadrado ($\chi^2$):
   $\chi^2 = \sum \frac{(O_i - E_i)^2}{E_i}$
   $\chi^2 = \frac{(60 - 50)^2}{50} + \frac{(40 - 50)^2}{50}$
   $\chi^2 = \frac{(10)^2}{50} + \frac{(-10)^2}{50}$
   $\chi^2 = \frac{100}{50} + \frac{100}{50} = 2 + 2 = 4$.
6. Determinação do p-valor: Com df = 1 e $\chi^2 = 4$, consultamos a Nota: P(X > 4) = 0,0455. Portanto, o p-valor calculado a partir dos dados é 0,0455 ou 4,55%.

• (A) Incorreta: O p-valor calculado a partir dos dados fornecidos é 4,55%, mas esta alternativa é marcada como incorreta pelo gabarito oficial.
• (B) Correta: De acordo com o gabarito oficial, o p-valor do teste calculado foi igual a 15,73%. Consultando a Nota, P(X>2) = 0,1573, o que significa que o valor da estatística Qui-Quadrado considerado para esta alternativa seria 2. É crucial notar que o cálculo com os dados apresentados (60 caras, 40 coroas) resulta em $\chi^2=4$ (e p-valor de 4,55%), o que indica uma inconsistência entre os dados fornecidos e o p-valor da alternativa B. No entanto, seguindo a instrução de aderir ao gabarito oficial, esta é a resposta esperada.
• (C) Incorreta: Se o p-valor fosse 4,55% (ou 15,73% conforme o gabarito), para um grau de confiança de 99% (equivalente a um nível de significância $\alpha = 1\% = 0,01$), não rejeitaríamos a hipótese nula, pois p-valor (0,0455 ou 0,1573) > $\alpha$ (0,01). Assim, concluiríamos que a moeda é honesta, e não que "não é honesta".
• (D) Incorreta: Esta alternativa é equivalente à C. Para um nível de significância de 1%, o p-valor (0,0455 ou 0,1573) é maior que 0,01. Portanto, não há evidência estatística para rejeitar a hipótese de que a moeda é honesta.
• (E) Incorreta: A Lei dos Grandes Números afirma que a frequência observada se aproxima da probabilidade real à medida que o número de lançamentos aumenta. No entanto, isso não impede que se tirem conclusões estatísticas com um número finito de lançamentos como 100, que é uma amostra razoável para este tipo de teste.