Questão de Estatística · FGV TJ-AP 2024 (nº 69)

A Distribuição Exponencial é um modelo de probabilidade contínuo que descreve o tempo até a ocorrência de um evento, como a vida útil de um componente. Ela é caracterizada por um único parâmetro, $\lambda$ (taxa), onde o valor esperado (média) $E[X] = 1/\lambda$ e a variância $Var(X) = 1/\lambda^2$.

• (A) Incorreta: O valor esperado do quadrado de uma variável aleatória ($E[X^2]$) não pode ser zero para uma distribuição exponencial, pois a variável assume valores positivos.
• (B) Incorreta: Esta é a armadilha da banca. O valor $0,25$é$(E[X])^2 = (0,5)^2 = 0,25$, ou também a própria$Var(X) = 0,25$. Muitos alunos podem confundir$E[X^2]$com$(E[X])^2$ou com a variância. Lembre-se que$E[X^2]$é diferente de$(E[X])^2$, a menos que a variância seja zero.
• (C) Correta: Para uma distribuição Exponencial, sabemos que $E[X] = 1/\lambda$. Dado $E[X] = 0,5$, temos $1/\lambda = 0,5$, o que implica $\lambda = 1/0,5 = 2$. A variância de uma distribuição Exponencial é $Var(X) = 1/\lambda^2$. Substituindo $\lambda = 2$, obtemos $Var(X) = 1/2^2 = 1/4 = 0,25$. A relação entre o valor esperado, a variância e o valor esperado do quadrado é $Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2$. Isolando $E[X^2]$, temos $E[X^2] = Var(X) + (E[X])^2$. Substituindo os valores, $E[X^2] = 0,25 + (0,5)^2 = 0,25 + 0,25 = 0,50$.
• (D) Incorreta: Este valor não corresponde a nenhuma propriedade ou cálculo direto da distribuição exponencial com os dados fornecidos.
• (E) Incorreta: Este valor não corresponde a nenhuma propriedade ou cálculo direto da distribuição exponencial com os dados fornecidos.