Questão de Engenharia Elétrica · FGV TCE-PA 2024 (nº 75)

A função de transferência é uma ferramenta que descreve como um sistema linear e invariante no tempo transforma um sinal de entrada em um sinal de saída, operando no domínio da frequência (Laplace). Para encontrar a saída no tempo, multiplicamos a função de transferência pela transformada de Laplace da entrada e, em seguida, aplicamos a transformada inversa de Laplace.

• (A) Incorreta: Esta alternativa sugere uma saída com um decaimento exponencial mais rápido ($e^{-2at}$) e um fator $a$, o que não corresponde ao produto das transformadas de Laplace de $G(s)$ e $r(t)$.
• (B) Incorreta: Esta é uma armadilha comum. O resultado $t \cdot e^{-at}$ seria obtido se a função de transferência fosse $\frac{1}{s+a}$ em vez de $\frac{a}{s+a}$. A constante $a$ no numerador de $G(s)$ é crucial e não pode ser ignorada.
• (C) Incorreta: Esta alternativa representa a resposta impulsiva do sistema, $h(t) = \mathcal{L}^{-1}\{G(s)\} = \mathcal{L}^{-1}\{\frac{a}{s+a}\} = a e^{-at}$. A resposta impulsiva é a saída quando a entrada é um impulso unitário, não quando a entrada é $e^{-at}$.
• (D) Correta: Para resolver, primeiro encontramos a transformada de Laplace da entrada $r(t) = e^{-at}$, que é $R(s) = \frac{1}{s+a}$. Em seguida, calculamos a transformada de Laplace da saída $Y(s) = G(s) \cdot R(s) = \left(\frac{a}{s+a}\right) \cdot \left(\frac{1}{s+a}\right) = \frac{a}{(s+a)^2}$. Finalmente, aplicamos a transformada inversa de Laplace. Sabemos que $\mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s+k)^2}\right\} = t e^{-kt}$. Com $k=a$, temos $y(t) = \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{a}{(s+a)^2}\right\} = a \cdot \mathcal{L}^{-1}\left\{\frac{1}{(s+a)^2}\right\} = a \cdot t e^{-at}$.
• (E) Incorreta: O sinal do expoente está incorreto ($+at$ em vez de $-at$). Isso implicaria que a transformada de Laplace teria um termo $(s-a)^2$ no denominador, o que não é o caso aqui.