Questão de Engenharia Elétrica · FGV TCE-PA 2024 (nº 62)

Em um movimento circular uniforme (MCU), a posição de uma partícula pode ser descrita por coordenadas polares $(r, \theta)$, onde $r$ é o raio (constante) e $\theta$ é o ângulo que varia linearmente com o tempo. Para converter de coordenadas cartesianas $(x, y)$ para polares, usamos as relações $r = \sqrt{x^2 + y^2}$ e $\theta = \operatorname{atan2}(y, x)$, ou comparando $x = r\cos\theta$ e $y = r\sin\theta$.

Primeiro, vamos simplificar a expressão para $y$:
$y = -3\cos(3t - \pi/2)$
Usando a identidade trigonométrica $\cos(A - B) = \cos A \cos B + \sin A \sin B$:
$\cos(3t - \pi/2) = \cos(3t)\cos(\pi/2) + \sin(3t)\sin(\pi/2)$
$\cos(3t - \pi/2) = \cos(3t) \cdot 0 + \sin(3t) \cdot 1$
$\cos(3t - \pi/2) = \sin(3t)$
Então, a expressão para $y$ se torna:
$y = -3\sin(3t)$

Agora temos as coordenadas cartesianas:
$x = 3\cos(3t)$
y = -3\sin(3t)\

1. Cálculo do raio ($r$):
   $r = \sqrt{x^2 + y^2}$
   $r = \sqrt{(3\cos(3t))^2 + (-3\sin(3t))^2}$
   $r = \sqrt{9\cos^2(3t) + 9\sin^2(3t)}$
   $r = \sqrt{9(\cos^2(3t) + \sin^2(3t))}$
   Usando a identidade fundamental $\cos^2 A + \sin^2 A = 1$:
   $r = \sqrt{9 \cdot 1} = \sqrt{9} = 3$
   Portanto, o raio é $r=3$.

2. Cálculo do ângulo ($\theta$):
   Sabemos que $x = r\cos\theta$ e $y = r\sin\theta$.
   Substituindo $r=3$:
   $x = 3\cos\theta \implies 3\cos(3t) = 3\cos\theta \implies \cos\theta = \cos(3t)$
   $y = 3\sin\theta \implies -3\sin(3t) = 3\sin\theta \implies \sin\theta = -\sin(3t)$
   Para que $\cos\theta = \cos(3t)$ e $\sin\theta = -\sin(3t)$, o ângulo $\theta$ deve ser o negativo de $3t$.
   Ou seja, $\theta = -3t$.
   (Isso ocorre porque $\cos(-A) = \cos A$ e $\sin(-A) = -\sin A$).
   A partícula está girando no sentido horário, pois o ângulo diminui com o tempo.

Portanto, o movimento da partícula em coordenadas polares é $r = 3$ e $\theta = -3t$.

(A) Incorreta: Embora o raio esteja correto ($r=3$), o ângulo $\theta = 3t$ implicaria que $y = 3\sin(3t)$, o que contradiz a expressão original de $y$ após a simplificação.
(B) Correta: O raio $r=3$ é derivado corretamente de $x^2+y^2$, e o ângulo $\theta=-3t$ é obtido ao comparar $x=r\cos\theta$ e $y=r\sin\theta$ com as expressões simplificadas $x=3\cos(3t)$ e $y=-3\sin(3t)$.
(C) Incorreta: O raio está correto, mas o ângulo $\theta = -3t + \frac{\pi}{2}$ não corresponde às expressões de $x$ e $y$ dadas.
(D) Incorreta: O raio está correto, mas o ângulo $\theta = 3t - \frac{\pi}{2}$ não corresponde às expressões de $x$ e $y$ dadas.
(E) Incorreta: O raio está incorreto ($r=3\sqrt{2}$ ao invés de $r=3$), e o ângulo $\theta = 3t$ também está incorreto.