Questão de Engenharia Elétrica · FGV TCE-PA 2024 (nº 65)

A densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua descreve a chance de a variável assumir um valor em um determinado intervalo; a probabilidade é calculada integrando essa função sobre o intervalo desejado.

Contexto da função: A função de densidade de probabilidade (PDF) é $p(x) = 1 - |x|$ para $|x| < 1$, e $p(x) = 0$ caso contrário. Isso significa que $p(x)$ só é diferente de zero no intervalo de $-1$ a $1. Dentro desse intervalo, ela se comporta como \1+x$para$x \in (-1, 0) e \1-x$ para $x \in [0, 1)$.

Para encontrar a probabilidade de $-3,0 < x < 0,8$, precisamos integrar a função $p(x)$ nesse intervalo. Como $p(x) = 0$ para $x < -1$, a integral efetivamente começa em $-1$.
$P(-3,0 < x < 0,8) = \int_{-1}^{0,8} p(x) dx$.

Dividimos a integral em duas partes, devido à definição de $|x|$:
$P = \int_{-1}^{0} (1+x) dx + \int_{0}^{0,8} (1-x) dx$.

Calculando a primeira parte:
$\int_{-1}^{0} (1+x) dx = [x + \frac{x^2}{2}]_{-1}^{0} = (0 + 0) - (-1 + \frac{(-1)^2}{2}) = 0 - (-1 + \frac{1}{2}) = -(-\frac{1}{2}) = 0,5$.

Calculando a segunda parte:
$\int_{0}^{0,8} (1-x) dx = [x - \frac{x^2}{2}]_{0}^{0,8} = (0,8 - \frac{(0,8)^2}{2}) - (0 - 0) = 0,8 - \frac{0,64}{2} = 0,8 - 0,32 = 0,48$.

Somando as duas partes:
$P(-3,0 < x < 0,8) = 0,5 + 0,48 = 0,98$.

(A) Incorreta: Este valor ($0,96$) seria obtido se a integração fosse feita de$-0,8 a \0,8$, ou seja,$P(-0,8 < x < 0,8) = \int_{-0,8}^{0} (1+x) dx + \int_{0}^{0,8} (1-x) dx = 0,48 + 0,48 = 0,96$. A **armadilha** aqui é ignorar a parte do intervalo de$-1$a$-0,8, que contribui com probabilidade para a integral total. **(B) Correta:** A probabilidade é \0,98$, calculada pela integral da função de densidade de probabilidade$p(x)$no intervalo relevante, que é de$-1 a \0,8$, considerando que$p(x)=0$para$x < -1. **(C) Incorreta:** Este valor não corresponde a um erro comum de cálculo ou interpretação da PDF. **(D) Incorreta:** Este valor não corresponde a um erro comum de cálculo ou interpretação da PDF. **(E) Incorreta:** Este valor (\0,04$) representa a probabilidade de$|x| > 0,8$, ou seja,$P(x < -0,8 \text{ ou } x > 0,8)$, que é o complemento de$P(-0,8 < x < 0,8) = 0,96$. Seria um erro de interpretação do que está sendo pedido (probabilidade dentro do intervalo vs. fora).