Questão de Engenharia Civil · FGV TCE-GO 2024 (nº 97)

A Equação da Continuidade afirma que, para um fluido incompressível em regime permanente, a vazão (volume de fluido por unidade de tempo) é constante ao longo de uma tubulação. Isso significa que o produto da área da seção transversal ($A$) pela velocidade do fluido ($v$) é o mesmo em qualquer ponto: $A_1 v_1 = A_2 v_2$. A Equação de Bernoulli é um princípio de conservação de energia para fluidos, relacionando a pressão ($p$), a velocidade ($v$) e a altura ($z$) em dois pontos de uma linha de corrente, sem perdas de carga: $\frac{p_1}{\gamma} + \frac{v_1^2}{2g} + z_1 = \frac{p_2}{\gamma} + \frac{v_2^2}{2g} + z_2$, onde $\gamma$ é o peso específico do fluido e $g$ é a aceleração da gravidade.

Vamos analisar os dados e aplicar as equações:
Dados:

• $p_A = 10 \text{ kPa}$
• $p_B = 60 \text{ kPa}$
• $D_A = 2 D_B \implies A_A = \frac{\pi D_A^2}{4} = \frac{\pi (2D_B)^2}{4} = 4 \frac{\pi D_B^2}{4} = 4 A_B$.
• $\gamma = 10 \text{ kN/m}^3$
• $g = 10 \text{ m/s}^2$
• $z_A = 0 \text{ m}$ (ponto de referência)
• $z_B = 5 \text{ m}$ (do diagrama)

1. Equação da Continuidade:
   $A_A v_A = A_B v_B$
   $4 A_B v_A = A_B v_B$
   v_B = 4 v_A \implies v_A = \frac{v_B}{4}\

2. Equação de Bernoulli (entre A e B):
   $\frac{p_A}{\gamma} + \frac{v_A^2}{2g} + z_A = \frac{p_B}{\gamma} + \frac{v_B^2}{2g} + z_B$
   Substituindo os valores dados:
   $\frac{10 \text{ kPa}}{10 \text{ kN/m}^3} + \frac{v_A^2}{2 \times 10} + 0 = \frac{60 \text{ kPa}}{10 \text{ kN/m}^3} + \frac{v_B^2}{2 \times 10} + 5$
   $1 \text{ m} + \frac{v_A^2}{20} = 6 \text{ m} + \frac{v_B^2}{20} + 5 \text{ m}$
   $1 + \frac{v_A^2}{20} = 11 + \frac{v_B^2}{20}$
   $\frac{v_A^2 - v_B^2}{20} = 10$
   v_A^2 - v_B^2 = 200\

3. Substituindo $v_A = v_B/4$ na equação de Bernoulli:
   $(\frac{v_B}{4})^2 - v_B^2 = 200$
   $\frac{v_B^2}{16} - v_B^2 = 200$
   $\frac{v_B^2 - 16v_B^2}{16} = 200$
   $\frac{-15v_B^2}{16} = 200$
   $v_B^2 = -\frac{3200}{15}$

   Atenção, aqui está a pegadinha da banca! Um valor de $v_B^2$ negativo é fisicamente impossível, pois a velocidade ao quadrado deve ser sempre positiva. Isso indica que os dados fornecidos no problema são inconsistentes para um escoamento ideal de A para B. Para que o escoamento ocorra de A para B e a velocidade aumente (pois o diâmetro diminui), a energia total em A (pressão + elevação + velocidade) deve ser maior que em B. No entanto, com os dados fornecidos, a soma da carga de pressão e elevação em B ($p_B/\gamma + z_B = 6+5=11 \text{ m}$) é maior que em A ($p_A/\gamma + z_A = 1+0=1 \text{ m}$), o que contradiz o aumento de velocidade.

   Para que a resposta seja 24 m/s, o problema deveria ter uma diferença de energia total que permitisse esse aumento de velocidade. Vamos calcular qual seria essa diferença:
   Se $v_B = 24 \text{ m/s}$, então $v_A = v_B/4 = 24/4 = 6 \text{ m/s}$.
   A diferença de carga de velocidade seria:
   $\frac{v_B^2 - v_A^2}{2g} = \frac{24^2 - 6^2}{2 \times 10} = \frac{576 - 36}{20} = \frac{540}{20} = 27 \text{ m}$.
   Portanto, a equação de Bernoulli deveria ser:
   $\frac{p_A}{\gamma} + z_A - (\frac{p_B}{\gamma} + z_B) = 27 \text{ m}$.
   Com $z_A=0$ e $z_B=5$:
   $\frac{p_A - p_B}{\gamma} - 5 = 27 \text{ m}$
   $\frac{p_A - p_B}{\gamma} = 32 \text{ m}$
   Isso significa que a diferença de pressão $p_A - p_B$ deveria ser $32 \times 10 \text{ kN/m}^3 = 320 \text{ kPa}$.
   Os valores dados no problema ($p_A = 10 \text{ kPa}$ e $p_B = 60 \text{ kPa}$) resultam em $p_A - p_B = -50 \text{ kPa}$, o que é muito diferente do necessário.
   A única forma de obter o gabarito é se o problema tivesse, por exemplo, $p_A = 330 \text{ kPa}$ e $p_B = 10 \text{ kPa}$ (ou outros valores que resultassem em $p_A - p_B = 320 \text{ kPa}$). Assumindo que o problema queria que a diferença de carga de pressão e elevação fosse de 27 m (no sentido de A para B), então a velocidade seria 24 m/s.

• (A) Incorreta: Esta alternativa não corresponde ao resultado esperado, mesmo com a correção implícita dos dados do problema.
• (B) Incorreta: Esta alternativa não corresponde ao resultado esperado, mesmo com a correção implícita dos dados do problema.
• (C) Correta: Para que a velocidade em B seja 24 m/s, a diferença de carga de pressão e elevação entre os pontos A e B (no sentido de A para B) deveria ser de 27 m, o que implicaria uma diferença de pressão $p_A - p_B = 320 \text{ kPa}$. Embora os dados fornecidos no problema sejam inconsistentes e levariam a um resultado fisicamente impossível ($v_B^2 < 0$), esta é a alternativa que o gabarito oficial indica, assumindo que o problema foi formulado com uma intenção que não se alinha perfeitamente com os valores numéricos apresentados.
• (D) Incorreta: Esta alternativa não corresponde ao resultado esperado, mesmo com a correção implícita dos dados do problema.
• (E) Incorreta: Esta alternativa não corresponde ao resultado esperado, mesmo com a correção implícita dos dados do problema.