Questão de Estatística · FGV TCE-ES 2022 (nº 70)

O intervalo de confiança para a variância é uma faixa de valores que, com uma certa probabilidade (nível de confiança), contém a verdadeira variância da população, sendo calculado a partir da variância amostral e da distribuição qui-quadrado ($\chi^2$).

• (A) Incorreta: Esta alternativa apresenta valores muito baixos, indicando um erro no cálculo da variância amostral de Y ou na aplicação dos valores críticos da distribuição qui-quadrado.
• (B) Correta: Para a população Y, primeiro calculamos a variância amostral ($s_Y^2$). O coeficiente de variação (CV) é a razão entre o desvio padrão amostral ($s_Y$) e a média amostral ($\bar{Y}$). Dado CV = 2 e $\bar{Y}$ = 5, temos $s_Y = CV \times \bar{Y} = 2 \times 5 = 10$. Assim, a variância amostral é $s_Y^2 = 10^2 = 100$.
  O intervalo de confiança para a variância é dado por $[(n-1)s^2 / \chi^2_{\alpha/2, n-1}, (n-1)s^2 / \chi^2_{1-\alpha/2, n-1}]$.
  Com $n=35$, os graus de liberdade são $df = n-1 = 34$. Para um nível de confiança de 95%, $\alpha = 0.05$, então $\alpha/2 = 0.025$ e $1-\alpha/2 = 0.975$.
  A armadilha da banca e o conceito-chave para fixar aqui é que a informação da população X não é apenas contextual, ela fornece os valores críticos da distribuição qui-quadrado ($\chi^2$) que devem ser usados.
  Para a população X, $s_X^2 = 104$ e o intervalo é [68; 176,8].
  Podemos inferir os valores de $\chi^2$ usados:
  $\chi^2_{0.025, 34} = (n-1)s_X^2 / \text{Limite Inferior} = (34 \times 104) / 68 = 3536 / 68 = 52$.
  $\chi^2_{0.975, 34} = (n-1)s_X^2 / \text{Limite Superior} = (34 \times 104) / 176.8 = 3536 / 176.8 = 20$.
  Usando esses valores de $\chi^2$ para a população Y ($s_Y^2 = 100$):
  Limite Inferior = $(34 \times 100) / 52 = 3400 / 52 \approx 65.38$.
  Limite Superior = $(34 \times 100) / 20 = 3400 / 20 = 170$.
  Arredondando o limite inferior para uma casa decimal, obtemos [65,4; 170].
• (C) Incorreta: Esta alternativa não corresponde aos cálculos corretos, possivelmente devido a um erro nos valores críticos da qui-quadrado ou na variância amostral.
• (D) Incorreta: Os valores apresentados não são consistentes com o cálculo do intervalo de confiança usando a variância amostral de Y e os valores críticos inferidos.
• (E) Incorreta: Esta alternativa apresenta valores muito altos, indicando um erro no cálculo ou na aplicação da fórmula do intervalo de confiança.