Questão de Economia · FGV TCE-ES 2022 (nº 80)

O Teorema Central do Limite nos diz que a média de muitas amostras (a média amostral) de qualquer população tende a ter uma distribuição normal (em forma de sino), mesmo que a população original não seja normal, desde que o tamanho da amostra seja grande o suficiente. A esperança (média) da média amostral é igual à esperança da população, e seu desvio padrão (erro padrão) é o desvio padrão da população dividido pela raiz quadrada do tamanho da amostra.

Primeiro, vamos determinar os parâmetros da distribuição uniforme original:
A distribuição é uniforme em $[t-1/2, t+1/2]$.

• A esperança (média) da população, $E[X]$, é o ponto médio do intervalo: $( (t-1/2) + (t+1/2) ) / 2 = (2t) / 2 = t$.
• A variância da população, $Var[X]$, para uma uniforme $[a,b]$ é $(b-a)^2/12$: $( (t+1/2) - (t-1/2) )^2 / 12 = (1)^2 / 12 = 1/12$.
• O desvio padrão da população, $DP[X]$, é $\sqrt{1/12} = 1/(2\sqrt{3})$.

Agora, para a média amostral $X_b$ de 12 pranchas ($n=12$):

• A esperança da média amostral, $E[X_b]$, é igual à esperança da população: $E[X_b] = E[X] = t$.
• A variância da média amostral, $Var[X_b]$, é $Var[X] / n$: $(1/12) / 12 = 1/144$.
• O desvio padrão da média amostral (erro padrão), $DP[X_b]$, é $\sqrt{1/144} = 1/12$.

Pelo Teorema Central do Limite, $X_b$ se distribui aproximadamente como uma normal com média $t$ e desvio padrão $1/12$. Para calcular as probabilidades, usamos a padronização Z:$Z = (X_b - E[X_b]) / DP[X_b]$.

Vamos calcular o valor de Z para $X_b = t - 1/6$:
$Z = ( (t - 1/6) - t ) / (1/12) = (-1/6) / (1/12) = -1/6 \times 12 = -2$.

Agora, avaliamos as alternativas:

• (A) Incorreta: A esperança de $X_b$ é $t$ (correto), mas $Pr(X_b < t - 1/6) = Pr(Z < -2)$, que é aproximadamente 2,28% (ou 2,5% arredondando), e não 95%. A armadilha aqui é que 95% é um valor comum para o intervalo central de confiança, não para a cauda esquerda em Z=-2.
• (B) Incorreta: A esperança de $X_b$ é $t$, não $t/2$.
• (C) Incorreta: A esperança de $X_b$ é $t$, não $t/2$. Além disso, $Pr(X_b \le t - 1/6) = Pr(Z \le -2)$, que é aproximadamente 2,28%, e não 97%.
• (D) Incorreta: A esperança de $X_b$ é $t$, não $t/4$.
• (E) Correta: A esperança de $X_b$ é $t$ (correto). E $Pr(X_b \le t - 1/6) = Pr(Z \le -2)$. Consultando a tabela da distribuição normal padrão, $Pr(Z \le -2)$ é aproximadamente 0,0228, que é 2,28%. Este valor é aproximadamente 2,5%, conforme a alternativa.