Questão de Auditoria Governamental · FGV TCE-ES 2022 (nº 79)

Quando temos muitos eventos independentes (como 100 chutes), e cada um tem apenas dois resultados possíveis (acerto ou erro) com uma probabilidade constante, podemos usar a Aproximação Normal da Distribuição Binomial. Isso significa que, em vez de usar cálculos complexos da distribuição binomial, podemos aproximar os resultados usando a Distribuição Normal, que é mais fácil de trabalhar. Para isso, calculamos a média ($\mu$) e o desvio padrão ($\sigma$) da distribuição, e então usamos a Regra Empírica (ou regra 68-95-99.7) para estimar probabilidades dentro de certos desvios padrão da média.

• Passo 1: Verificar as condições para a aproximação.

  • Número de tentativas ($n$) = 100
  • Probabilidade de sucesso ($p$) = 0,50
  • $np = 100 \times 0,5 = 50 \ge 5$
  • $n(1-p) = 100 \times 0,5 = 50 \ge 5$
    As condições são satisfeitas, então a aproximação normal é válida.

• Passo 2: Calcular a média ($\mu$) e o desvio padrão ($\sigma$).

  • Média: $\mu = np = 100 \times 0,5 = 50$ chutes certos.
  • Desvio Padrão: $\sigma = \sqrt{np(1-p)} = \sqrt{100 \times 0,5 \times 0,5} = \sqrt{25} = 5$ chutes.

• Passo 3: Identificar o intervalo em termos de desvios padrão.
  A questão pede a probabilidade de observar entre 35 e 65 chutes certos.

  • Limite inferior: $35 = 50 - 15 = 50 - (3 \times 5) = \mu - 3\sigma$
  • Limite superior: $65 = 50 + 15 = 50 + (3 \times 5) = \mu + 3\sigma$
    Portanto, o intervalo de interesse é $\mu \pm 3\sigma$.

• Passo 4: Aplicar a Regra Empírica.
  A Regra Empírica (ou regra 68-95-99.7) afirma que, para uma distribuição normal:

  • Aproximadamente 68% dos dados estão dentro de 1 desvio padrão da média ($\mu \pm 1\sigma$).
  • Aproximadamente 95% dos dados estão dentro de 2 desvios padrão da média ($\mu \pm 2\sigma$).
  • Aproximadamente 99,7% dos dados estão dentro de 3 desvios padrão da média ($\mu \pm 3\sigma$).

  Como o intervalo de 35 a 65 chutes certos corresponde a $\mu \pm 3\sigma$, a probabilidade é de aproximadamente 99,7%.

(A) Incorreta: Esta alternativa é menor que o valor correto. 95% corresponderia a um intervalo de $\mu \pm 2\sigma$ (ou seja, entre 40 e 60 chutes), que é mais estreito que o intervalo dado.
(B) Correta: A probabilidade de observar valores dentro de 3 desvios padrão da média em uma distribuição normal é de aproximadamente 99,7%, de acordo com a Regra Empírica. O intervalo de 35 a 65 chutes corresponde exatamente a $\mu \pm 3\sigma$ ($50 \pm 3 \times 5$).
(C) Incorreta: Este valor é muito baixo e não corresponde à probabilidade de um intervalo tão amplo ao redor da média.
(D) Incorreta: Esta é a principal armadilha. 95% é a probabilidade para um intervalo de $\mu \pm 2\sigma$ (entre 40 e 60 chutes). O intervalo da questão é $\mu \pm 3\sigma$, que é mais amplo e, portanto, tem uma probabilidade maior. O erro comum é confundir o número de desvios padrão.
(E) Incorreta: Este valor é muito baixo e não corresponde à probabilidade de um intervalo tão amplo ao redor da média.