Questão de Auditoria Governamental · FGV TCE-ES 2022 (nº 80)

A distribuição uniforme significa que todos os valores em um intervalo têm a mesma chance de ocorrer. O Teorema Central do Limite (TCL) nos diz que, mesmo que os dados originais não sigam uma distribuição normal, a média de várias amostras grandes (a média amostral) tenderá a ter uma distribuição aproximadamente normal.

• (A) Incorreta: A esperança de $\bar{X}$ é $t$, mas $Pr(\bar{X} < t - \frac{1}{6})$ é $Pr(Z < -2)$, que é aproximadamente 2,5%, não 95%.
• (B) Incorreta: A esperança de $\bar{X}$ é $t$, não $\frac{t}{2}$.
• (C) Incorreta: A esperança de $\bar{X}$ é $t$, não $\frac{t}{2}$.
• (D) Incorreta: A esperança de $\bar{X}$ é $t$, não $\frac{t}{4}$. A armadilha aqui é que $Pr(\bar{X} > t + \frac{1}{6})$ é $Pr(Z > 2)$, que de fato é aproximadamente 2,5%, mas a esperança está errada.
• (E) Correta: A esperança da média amostral ($E[\bar{X}]$) é igual à esperança da população ($E[X]$). Para uma distribuição uniforme em $[a, b]$, a esperança é $\frac{a+b}{2}$. Assim, $E[X] = \frac{(t - \frac{1}{2}) + (t + \frac{1}{2})}{2} = \frac{2t}{2} = t$. A variância da população é $Var[X] = \frac{(b-a)^2}{12} = \frac{((t + \frac{1}{2}) - (t - \frac{1}{2}))^2}{12} = \frac{1^2}{12} = \frac{1}{12}$. A variância da média amostral é $Var[\bar{X}] = \frac{Var[X]}{n} = \frac{1/12}{12} = \frac{1}{144}$. O desvio padrão da média amostral é $\sigma_{\bar{X}} = \sqrt{\frac{1}{144}} = \frac{1}{12}$. Pelo Teorema Central do Limite, $\bar{X}$ segue uma distribuição aproximadamente normal com média $t$ e desvio padrão $\frac{1}{12}$. Para calcular $Pr(\bar{X} \leq t - \frac{1}{6})$, padronizamos: $Z = \frac{(t - \frac{1}{6}) - t}{1/12} = \frac{-1/6}{1/12} = -2$. Consultando a tabela da distribuição normal padrão, $Pr(Z \leq -2)$ é aproximadamente 0,0228 ou 2,28%, que é arredondado para 2,5%.