Questão de Auditoria Governamental · FGV TCE-ES 2022 (nº 76)

A distribuição exponencial é um modelo matemático que descreve o tempo entre eventos em um processo contínuo e aleatório, como o tempo de vida de uma lâmpada. Ela é caracterizada por um único parâmetro, a taxa (r), que é o inverso do tempo médio de ocorrência. O coeficiente de variação (cv) é uma medida de dispersão relativa, calculada como a razão entre o desvio padrão e a média, indicando o quanto os dados variam em relação à média.

Para uma variável aleatória X que segue uma distribuição exponencial com taxa r:

• A média ($\mu$) é $1/r$.
• O desvio padrão ($\sigma$) é $1/r$.
• O coeficiente de variação (cv) é $\sigma / \mu = (1/r) / (1/r) = 1$.
  Portanto, para qualquer distribuição exponencial, o coeficiente de variação é sempre 1.

A função de sobrevivência (ou probabilidade de X ser maior que um valor x) para uma distribuição exponencial é dada por $Pr(X > x) = e^{-rx}$.
Como queremos $Pr(X > cv)$ e sabemos que $cv = 1$, substituímos $cv$ por 1 na fórmula:
$Pr(X > cv) = Pr(X > 1) = e^{-r \cdot 1} = e^{-r}$.

• (A) Incorreta: Esta alternativa apresenta $1 - e^{-r}$. Esta é a probabilidade $Pr(X \le cv)$, ou seja, a função de distribuição acumulada (CDF) avaliada em $cv=1$. A questão pede $Pr(X > cv)$.
• (B) Incorreta: Esta alternativa apresenta $e^{-1}$. A armadilha aqui é que, embora o $cv$ seja 1, a taxa $r$ da distribuição exponencial não é necessariamente 1. A probabilidade correta deve incluir o parâmetro $r$. Se a taxa $r$ fosse igual a 1, então $e^{-r}$ seria $e^{-1}$, mas como $r$ é um parâmetro genérico, a resposta deve depender de $r$.
• (C) Incorreta: Esta alternativa apresenta $1 - e^{-1}$. Combina os erros da alternativa A (confundir $Pr(X > x)$ com $Pr(X \le x)$) e da alternativa B (assumir $r=1$ indevidamente).
• (D) Correta: Conforme derivado, $Pr(X > cv) = Pr(X > 1) = e^{-r \cdot 1} = e^{-r}$. Esta alternativa está em total conformidade com as propriedades da distribuição exponencial e o cálculo do coeficiente de variação.
• (E) Incorreta: Esta alternativa apresenta $e^{-r^2}$. Não há base teórica para que o expoente seja $r^2$ na função de sobrevivência da distribuição exponencial.