Questão de Auditoria Governamental · FGV TCE-ES 2022 (nº 75)

A distribuição normal é um tipo de distribuição de probabilidade simétrica, em forma de sino, definida por sua média (o centro) e variância (a dispersão). Uma transformação linear de uma variável normal (como multiplicar por um número e somar outro) também resulta em uma variável normal, mas com nova média e nova variância.

Primeiro, vamos determinar as características da variável Y.
A variável X tem média $\mu_X = 2$ e variância $\sigma_X^2 = 1$. Portanto, o desvio padrão de X é $\sigma_X = \sqrt{1} = 1$.
A transformação é $Y = 2(X - 2) = 2X - 4$.
Para uma transformação linear $Y = aX + b$, a média de Y é $\mu_Y = a\mu_X + b$ e a variância de Y é $\sigma_Y^2 = a^2\sigma_X^2$.
Aplicando os valores:
$\mu_Y = 2 \times \mu_X - 4 = 2 \times 2 - 4 = 4 - 4 = 0$.
$\sigma_Y^2 = 2^2 \times \sigma_X^2 = 4 \times 1 = 4$.
O desvio padrão de Y é $\sigma_Y = \sqrt{4} = 2$.
Então, Y é uma variável normal com média 0 e desvio padrão 2 ($Y \sim N(0, 4)$).

A regra empírica (ou regra 68-95-99.7) para a distribuição normal afirma que:

• Aproximadamente 68% dos valores estão dentro de 1 desvio padrão da média.
• Aproximadamente 95% dos valores estão dentro de 2 desvios padrão da média.
• Aproximadamente 99.7% dos valores estão dentro de 3 desvios padrão da média.

Para Y, com $\mu_Y = 0$ e $\sigma_Y = 2$:

• 1 desvio padrão da média: $[\mu_Y - \sigma_Y, \mu_Y + \sigma_Y] = [0 - 2, 0 + 2] = [-2, 2]$. A probabilidade é de 68%.
• 2 desvios padrão da média: $[\mu_Y - 2\sigma_Y, \mu_Y + 2\sigma_Y] = [0 - 2 \times 2, 0 + 2 \times 2] = [-4, 4]$. A probabilidade é de 95%.

(A) Incorreta: O intervalo $[-1/2, 1/2]$ representa $0.5 / 2 = 0.25$desvios padrão da média de Y. A probabilidade para um intervalo tão pequeno é bem menor que 95**(B) Incorreta:** O intervalo$[-1/2, 1/2] representa \0.25$desvios padrão da média de Y. A probabilidade para um intervalo tão pequeno é bem menor que 68**(C) Incorreta:** O intervalo$[-2, 2]$representa 1 desvio padrão da média de Y (já que$\sigma_Y = 2$). A probabilidade para 1 desvio padrão é de 68$\sigma_X=1$) ou que confunde o número de desvios padrão com a porcentagem correspondente. Se o aluno pensasse que o desvio padrão de Y era 1, então$[-2, 2]$seriam 2 desvios padrão, o que daria 95**(D) Correta:** O intervalo$[-2, 2]$corresponde a 1 desvio padrão da média de Y ($[\mu_Y - \sigma_Y, \mu_Y + \sigma_Y] = [0 - 2, 0 + 2]$). Pela regra empírica, a probabilidade de Y estar dentro de 1 desvio padrão da média é aproximadamente 68**(E) Incorreta:** O intervalo$[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$representa$\sqrt{2} / 2 \approx 0.707$ desvios padrão da média de Y. A probabilidade para 0.707 desvios padrão não é 68%; 68% é para 1 desvio padrão.