Questão nº 60

Questão de Matemática · FGV SME-SP EFII e Médio 2023 (nº 60)

FGV2023MatemáticaMatemática

Seja $P$ um polígono convexo de $n$ lados.

O número de círculos, no plano de $P$ , que possuem um diâmetro cujas extremidades são vértices de $P$ é igual a

Resposta comentada

Gabarito Alternativa B

(A) Incorreta: $n^2-n=n(n-1)$ conta pares ordenados, contando cada diâmetro duas vezes.
(B) Correta: cada par de vértices define um diâmetro e, portanto, um único círculo. O número de pares é $\binom{n}{2}=\dfrac{n(n-1)}{2}=\dfrac{n^2-n}{2}$ .
(C) Incorreta: dividir por 3 não tem justificativa combinatória.
(D) Incorreta: dividir por 4 subestima a contagem de pares.
(E) Incorreta: $\dfrac{n^2-n}{n}=n-1$ conta apenas os diâmetros a partir de um único vértice.

Fonte: FGV SME-SP EFII e Médio 2023 Matemática (Caderno Tipo 1). Reproduzida para fins de estudo.