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Questão de Matemática — FGV SME-SP EFII e Médio 2023 (nº 48)

O valor da expressão aritmética

$\left(1 - \frac{1}{2}\right)\left(\frac{1}{3} - \frac{1}{4}\right)\left(\frac{1}{5} - \frac{1}{6}\right)\cdots\left(\frac{1}{19} - \frac{1}{20}\right)\left(\frac{1}{21} - \frac{1}{22}\right)$

é igual a

A $\dfrac{21}{22}$ .
B $\dfrac{1}{22}$ .
C $\dfrac{1}{22!}$ .
D $\dfrac{21}{22!}$ .
E $\dfrac{22!}{21}$ .

Resposta comentada

Gabarito Alternativa C

(A) Incorreta: $\dfrac{21}{22}$ é apenas o valor de $1-\dfrac{1}{22}$ , não do produto.
(B) Incorreta: $\dfrac{1}{22}$ ignora o produto de todos os denominadores anteriores.
(C) Correta: cada fator é $\dfrac{1}{2k-1}-\dfrac{1}{2k}=\dfrac{1}{(2k-1)(2k)}$ . Multiplicando de $k=1$ a $11$ : $\dfrac{1}{(1\cdot2)(3\cdot4)\cdots(21\cdot22)}=\dfrac{1}{22!}$ .
(D) Incorreta: o numerador correto é $1$ , não $21$ .
(E) Incorreta: o resultado é o inverso de $22!$ (aproximadamente), não $22!$ no numerador.

Fonte: FGV SME-SP EFII e Médio 2023 Matemática (Caderno Tipo 1). Reproduzida para fins de estudo.

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