FGV2023Professor II - MatemáticaMatemática

Questão de Matemática — FGV SME Jaboatão 2023 (nº 60)

Sejam $N$ um número natural tal que $\sqrt{N}$ é um número irracional. Se, entre 0 e $\sqrt{N}$ , houver $k$ divisores naturais de $N$ , pode-se afirmar que a quantidade total de divisores naturais de $N$ é

A $k^2 + 1$
B $k^2$
C $k^2 - 1$
D $2k + 1$
E $2k$

Resposta comentada

Gabarito Alternativa E

(A) Incorreta: $k^2 + 1$ não corresponde ao pareamento dos divisores.
(B) Incorreta: $k^2$ sugeriria uma contagem multiplicativa, que não ocorre.
(C) Incorreta: $k^2 - 1$ não decorre da simetria dos divisores.
(D) Incorreta: $2k + 1$ incluiria um divisor igual a $\sqrt{N}$ , impossível pois $\sqrt{N}$ é irracional.
(E) Correta: cada divisor $d < \sqrt{N}$ pareia com $\frac{N}{d} > \sqrt{N}$ e nenhum vale $\sqrt{N}$ ; havendo $k$ abaixo, há $k$ acima, total $2k$ .

Fonte: FGV SME Jaboatão 2023 Professor II - Matemática (Caderno Tipo 1). Reproduzida para fins de estudo.

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