FGV2023Professor II - MatemáticaMatemática

Questão de Matemática — FGV SME Jaboatão 2023 (nº 59)

A figura a seguir ilustra as 6 primeiras linhas de uma famosa construção conhecida como Triângulo de Pascal.

Figura da questão de Matemática

O triângulo é formado por linhas sucessivas, contadas de cima para baixo, em que cada linha tem um número a mais do que a linha anterior. Lidas da esquerda para a direita, todas as linhas começam e terminam com o número 1 e os demais termos correspondem, cada um, à soma dos dois adjacentes que estão na linha imediatamente acima. Por exemplo, na 6ª linha, o terceiro termo é 10, resultado da soma de 4 e 6, conforme indicado na ilustração. Mantido o padrão de construção, o triângulo pode ter quantas linhas desejarmos.

Suponha que os números do Triângulo de Pascal sejam alternadamente somados e subtraídos, de cima para baixo, da esquerda para a direita e seja $S_A(n)$ o resultado dessa soma alternada desde o primeiro e único elemento da 1ª linha até o $n$ -ésimo elemento da $n$ -ésima linha. Abaixo, segue um exemplo de como calcular $S_A(4)$ .

[IMG-PENDENTE]

Assim, o valor de $S_A(20)$ é

A $\dfrac{2^{21} - 1}{3}$
B $\dfrac{2^{20} - 1}{3}$
C $\dfrac{2^{19} - 1}{3}$
D $2^{21} - 1$
E $2^{20} - 1$

Resposta comentada

Gabarito Alternativa B

(A) Incorreta: $\frac{2^{21}-1}{3}$ não bate com o exemplo $S_A(4)$ .
(B) Correta (mais defensável): pela leitura por blocos de linha ( $\pm 2^{k-1}$ ) tem-se $|S_A(4)| = |1 - 2 + 4 - 8| = 5 = \frac{2^4 - 1}{3}$ , padrão que leva a $\frac{2^{20}-1}{3}$ ; é a única compatível com o resultado pretendido. Observação: somando e subtraindo elemento a elemento (leitura literal do enunciado), cada linha completa tem soma alternada nula, de modo que $S_A(n) = 1$ para todo $n$ , valor ausente das opções, o que motivou a anulação.
(C) Incorreta: $\frac{2^{19}-1}{3}$ não corresponde ao exemplo dado.
(D) Incorreta: $2^{21} - 1$ ignora a alternância de sinais.
(E) Incorreta: $2^{20} - 1$ é a soma total sem alternância.

Fonte: FGV SME Jaboatão 2023 Professor II - Matemática (Caderno Tipo 1). Reproduzida para fins de estudo.

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