FGV2023Professor II - MatemáticaMatemática

Questão de Matemática — FGV SME Jaboatão 2023 (nº 53)

Em qualquer poliedro convexo com $V$ vértices, $A$ arestas e $F$ faces, são válidas as relações

$V + F = A + 2$
$2A = 3\cdot F_3 + 4\cdot F_4 + 5\cdot F_5 + \cdots$
$F = F_3 + F_4 + F_5 + \cdots$

Com base nessas informações, é possível concluir que, em todo poliedro convexo,

Resposta comentada

Gabarito Alternativa A

(A) Correta (mais defensável): de $2A \ge 3F$ (cada face tem no mínimo 3 lados) e $A = V + F - 2$ resulta $2V \ge F + 4$ , relação clássica que a banca pretendia; porém, com o sinal estrito ( $>$ ), ela falha quando todas as faces são triângulos (tetraedro: $2V = 8 = F + 4$ ), o que motivou a anulação.
(B) Incorreta: $2V > F + 5$ já falha no tetraedro ( $8 \not> 9$ ).
(C) Incorreta: $2V = 3F - 2$ vale só em casos particulares (cubo), não em geral.
(D) Incorreta: $3V = 4F$ só ocorre no tetraedro, não em todo poliedro.
(E) Incorreta: $3V > 2F + 3$ falha no octaedro ( $18 \not> 19$ ).

Fonte: FGV SME Jaboatão 2023 Professor II - Matemática (Caderno Tipo 1). Reproduzida para fins de estudo.

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