Questão de Matemática Financeira e Estatística · FGV SEFAZ-AM 2022 - Prova I (nº 26)

Um intervalo de confiança é uma estimativa de uma faixa de valores que, com uma certa probabilidade (o nível de confiança, aqui 95%), contém o verdadeiro valor de um parâmetro da população (como a proporção de eleitores que votariam em X). Ele é calculado a partir de uma amostra dos dados.

Cálculos:

1. Proporção amostral ($\hat{p}$): A proporção de eleitores na amostra que votariam em X é $\hat{p} = \frac{\text{número de sucessos}}{\text{tamanho da amostra}} = \frac{800}{1600} = 0,5$.
2. Tamanho da amostra (n): $n = 1600$.
3. Valor crítico (Z): Para um nível de confiança de 95%, o valor Z correspondente é $1,96$(dado que$P[Z < 1,96] = 0,975$, o que significa que 2,5% da área está em cada cauda da distribuição normal padrão).
4. Erro padrão da proporção ($SE_{\hat{p}}$): Mede a variabilidade da proporção amostral.
   $SE_{\hat{p}} = \sqrt{\frac{\hat{p}(1-\hat{p})}{n}} = \sqrt{\frac{0,5 \times (1-0,5)}{1600}} = \sqrt{\frac{0,25}{1600}} = \sqrt{0,00015625} = 0,0125$.
5. Margem de erro (ME): É o valor crítico multiplicado pelo erro padrão.
   $ME = Z \times SE_{\hat{p}} = 1,96 \times 0,0125 = 0,0245$.
6. Intervalo de Confiança: É calculado como $\hat{p} \pm ME$.
   Limite inferior = $0,5 - 0,0245 = 0,475. Limite superior = \0,5 + 0,0245 = 0,5245$. O intervalo de confiança calculado é$(0,475; 0,5245)$.

(A) Incorreta: O intervalo $(0,45; 0,55)$ implica uma margem de erro de $0,05$, que é maior que a calculada. **(B) Incorreta:** O intervalo$(0,465; 0,535) implica uma margem de erro de \0,035$, que é diferente da calculada. **(C) Incorreta:** O intervalo$(0,468; 0,532) implica uma margem de erro de \0,032$, que é diferente da calculada. **(D) Incorreta:** O intervalo$(0,471; 0,529) implica uma margem de erro de \0,029$, que é diferente da calculada. **(E) Correta:** O intervalo$(0,475; 0,525)$é o mais próximo do intervalo calculado$(0,475; 0,5245). A diferença no limite superior (\0,525 em vez de \0,5245$) é mínima e pode ser devido a um arredondamento na alternativa ou à utilização de$Z=2$como uma aproximação comum para o nível de 95$ME = 2 \times 0,0125 = 0,025$), mesmo que a questão tenha fornecido$Z=1,96$. A frase "aproximadamente dado por" valida essa pequena diferença.