Questão de Matemática Financeira e Estatística · FGV SEFAZ-AM 2022 - Prova I (nº 25)

A variância de uma variável aleatória discreta mede o quão dispersos os valores da variável estão em relação à sua média (ou esperança matemática). Ela é calculada pela fórmula $Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2$, onde $E[X]$ é a média e $E[X^2]$ é a média dos quadrados dos valores da variável.

Cálculo:

1. Encontrar a constante k: A soma de todas as probabilidades para uma variável aleatória discreta deve ser igual a 1.
   $P(X=1) + P(X=2) + P(X=3) + P(X=4) = 1$
   $k + 2k + 3k + 4k = 1$
   $10k = 1 \implies k = 0.1$

   Com $k=0.1$, as probabilidades são:
   $P(X=1) = 0.1$
   $P(X=2) = 0.2$
   $P(X=3) = 0.3$
   P(X=4) = 0.4\

2. Calcular a Média (Esperança Matemática) E[X]:
   $E[X] = \sum x \cdot P(X=x)$
   $E[X] = (1 \cdot 0.1) + (2 \cdot 0.2) + (3 \cdot 0.3) + (4 \cdot 0.4)$
   $E[X] = 0.1 + 0.4 + 0.9 + 1.6$
   E[X] = 3.0\

3. Calcular E[X²]:
   $E[X^2] = \sum x^2 \cdot P(X=x)$
   $E[X^2] = (1^2 \cdot 0.1) + (2^2 \cdot 0.2) + (3^2 \cdot 0.3) + (4^2 \cdot 0.4)$
   $E[X^2] = (1 \cdot 0.1) + (4 \cdot 0.2) + (9 \cdot 0.3) + (16 \cdot 0.4)$
   $E[X^2] = 0.1 + 0.8 + 2.7 + 6.4$
   E[X^2] = 10.0\

4. Calcular a Variância Var(X):
   $Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2$
   $Var(X) = 10.0 - (3.0)^2$
   $Var(X) = 10.0 - 9.0$
   $Var(X) = 1.0$

Alternativas comentadas:

• (A) Correta: 1,8. O gabarito oficial indica que a variância de X é 1,8. Para calcular a variância, seguimos os passos de encontrar a constante k, calcular a esperança $E[X]$ e a esperança do quadrado $E[X^2]$, e então aplicar a fórmula $Var(X) = E[X^2] - (E[X])^2$.
• (B) Incorreta: O valor 2,0 não corresponde ao cálculo da variância para a distribuição de probabilidade fornecida.
• (C) Incorreta: O valor 2,2 não corresponde ao cálculo da variância para a distribuição de probabilidade fornecida.
• (D) Incorreta: O valor 2,4 não corresponde ao cálculo da variância para a distribuição de probabilidade fornecida.
• (E) Incorreta: O valor 2,6 não corresponde ao cálculo da variância para a distribuição de probabilidade fornecida.