Questão de Raciocínio Lógico-Matemático · FGV SEFAZ-AM 2022 - Prova I (nº 17)

O problema envolve divisibilidade e resto, que é o que sobra de uma divisão. Quando dizemos que "separando em grupos de X sobram Y", significa que o número total de itens é um múltiplo de X mais Y.

Primeiro, sabemos que o número de balas (N) está entre 150 e 200.
Quando separadas em grupos de 5, sobram 2, então $N \equiv 2 \pmod{5}$.
Quando separadas em grupos de 7, sobram 2, então $N \equiv 2 \pmod{7}$.
Isso significa que $N-2$ é divisível tanto por 5 quanto por 7. Como 5 e 7 são números primos, $N-2$ deve ser divisível pelo Mínimo Múltiplo Comum (MMC) de 5 e 7, que é $5 \times 7 = 35$.
Assim, $N-2$ é um múltiplo de 35, ou seja, $N-2 = 35k$ para algum número inteiro $k$.
Portanto, $N = 35k + 2$.
Precisamos encontrar um valor de $N$ entre 150 e 200.
Testando valores para $k$:

• Se $k=1$, $N = 35(1) + 2 = 37$ (fora do intervalo)
• Se $k=2$, $N = 35(2) + 2 = 72$ (fora do intervalo)
• Se $k=3$, $N = 35(3) + 2 = 107$ (fora do intervalo)
• Se $k=4$, $N = 35(4) + 2 = 142$ (fora do intervalo)
• Se $k=5$, $N = 35(5) + 2 = 175 + 2 = 177$ (dentro do intervalo $150 < 177 < 200$)
• Se $k=6$, $N = 35(6) + 2 = 212$ (fora do intervalo)
  O número de balas é 177.
  Agora, precisamos descobrir o resto da divisão de 177 por 9.
  $177 \div 9$:
  $177 = 19 \times 9 + 6$.
  O resto é 6.

(A) Incorreta: O número de balas, 177, não é divisível por 9, pois a soma de seus algarismos (1+7+7=15) não é divisível por 9.
(B) Incorreta: Este é o resto quando as balas são separadas em grupos de 5 ou 7, mas não é o resto quando separadas em grupos de 9. Essa é a armadilha da banca, pois tenta induzir o aluno a generalizar o resto 2 para todas as divisões.
(C) Incorreta: O resto da divisão de 177 por 9 não é 4.
(D) Correta: O número de balas é 177. Para encontrar o resto da divisão de 177 por 9, dividimos 177 por 9: $177 = 19 \times 9 + 6$. O resto é 6.
(E) Incorreta: O resto da divisão de 177 por 9 não é 8.