Questão de Raciocínio Lógico-Matemático · FGV SEFAZ-AM 2022 - Prova I (nº 13)

Para resolver este problema de análise combinatória, precisamos entender a restrição imposta sobre a disposição das pessoas em uma mesa circular.

A frase-chave é: "Vamos nos sentar de forma a deixar para Pedro apenas um lugar que não tenha um de nós como vizinho."
"Um lugar que não tenha um de nós como vizinho" significa um lugar vazio.
"Apenas um lugar que não tenha um de nós como vizinho" significa que Pedro deve ter exatamente um lugar vazio como vizinho.
Em uma mesa circular, cada pessoa tem dois vizinhos. Se Pedro tem exatamente um vizinho vazio, o outro vizinho obrigatoriamente deve ser uma pessoa (um dos amigos Abel, Daniel ou Rafael).
Portanto, a disposição dos assentos ao redor de Pedro deve ser (Vazio - Pedro - Amigo) ou (Amigo - Pedro - Vazio).

Vamos chamar os três amigos de F1, F2, F3 e Pedro de P.
O número total de pessoas é 4. O número de cadeiras vazias é $N - 4$, onde $N$ é o número total de cadeiras.

Para cumprir a restrição, podemos formar um "bloco" de 3 cadeiras: (Vazio - Pedro - Amigo).

• Uma cadeira é ocupada por Pedro (P).
• Uma cadeira é ocupada por um amigo (digamos F1).
• Uma cadeira é vazia (V).

Após formar o bloco (V P F1), restam:

• 2 amigos (F2 e F3).
• $(N-4) - 1 = N-5$ cadeiras vazias (pois uma já foi usada no bloco).
• $N - 3$ cadeiras restantes na mesa (pois 3 foram usadas no bloco).

Precisamos dispor os 2 amigos restantes (F2, F3) e as $N-5$ cadeiras vazias restantes nos $N-3$ lugares disponíveis. O número total de itens a serem dispostos (F2, F3 e as $N-5$ cadeiras vazias) é $2 + (N-5) = N-3$. Isso significa que todos os$N-3$lugares restantes serão preenchidos exatamente por esses$N-3$ itens.

A condição para Pedro já está satisfeita pelo bloco (V P F1). A disposição dos demais amigos e cadeiras vazias não afeta os vizinhos de Pedro.
Para que essa disposição seja possível, precisamos de pelo menos 1 cadeira vazia ($N-4 \ge 1 \Rightarrow N \ge 5$) e pelo menos 2 amigos restantes ($2 \ge 0$, o que é verdade).

Vamos testar as alternativas, procurando a máxima que permite essa configuração:

• N = 6 cadeiras: Temos 4 pessoas e 2 cadeiras vazias.
  • Formamos (V1 P F1). Restam F2, F3 e V2.
  • Precisamos dispor F2, F3, V2 em $6-3=3$ cadeiras. Exemplo de arranjo: (V1 P F1) F2 F3 V2. Pedro tem V1 e F1 como vizinhos. Isso é possível.
• N = 7 cadeiras: Temos 4 pessoas e 3 cadeiras vazias.
  • Formamos (V1 P F1). Restam F2, F3 e V2, V3.
  • Precisamos dispor F2, F3, V2, V3 em $7-3=4$ cadeiras. Exemplo: (V1 P F1) F2 V2 F3 V3. Isso é possível.
• N = 8 cadeiras: Temos 4 pessoas e 4 cadeiras vazias.
  • Formamos (V1 P F1). Restam F2, F3 e V2, V3, V4.
  • Precisamos dispor F2, F3, V2, V3, V4 em $8-3=5$ cadeiras. Exemplo: (V1 P F1) F2 V2 F3 V3 V4. Isso é possível.
• N = 9 cadeiras: Temos 4 pessoas e 5 cadeiras vazias.
  • Formamos (V1 P F1). Restam F2, F3 e V2, V3, V4, V5.
  • Precisamos dispor F2, F3, V2, V3, V4, V5 em $9-3=6$ cadeiras. Exemplo: (V1 P F1) F2 V2 F3 V3 V4 V5. Isso é possível.
• N = 10 cadeiras: Temos 4 pessoas e 6 cadeiras vazias.
  • Formamos (V1 P F1). Restam F2, F3 e V2, V3, V4, V5, V6.
  • Precisamos dispor F2, F3, V2, V3, V4, V5, V6 em $10-3=7$ cadeiras. Exemplo: (V1 P F1) F2 V2 F3 V3 V4 V5 V6. Isso é possível.

A armadilha da banca: A interpretação direta da restrição ("Pedro tem exatamente um vizinho vazio") permite que o número de cadeiras seja arbitrariamente grande, desde que haja pelo menos uma cadeira vazia (N ≥ 5). No entanto, em questões de múltipla escolha com um "máximo", se todas as opções até um certo ponto são possíveis, a resposta correta é a maior opção apresentada que ainda satisfaz a condição. Se houvesse uma restrição implícita não declarada (como "os amigos não podem ter mais de X cadeiras vazias entre si", ou "não pode haver mais de Y cadeiras vazias consecutivas"), o resultado seria diferente. Sem essa restrição adicional, e dado que 10 é a maior opção que funciona com a interpretação direta, ela é a resposta esperada.

(A) Incorreta: 6 cadeiras é um número possível, mas não o máximo entre as opções.
(B) Incorreta: 7 cadeiras é um número possível, mas não o máximo entre as opções.
(C) Incorreta: 8 cadeiras é um número possível, mas não o máximo entre as opções.
(D) Incorreta: 9 cadeiras é um número possível, mas não o máximo entre as opções.
(E) Correta: 10 cadeiras é um número possível. Com 4 pessoas e 6 cadeiras vazias, podemos formar o bloco (Vazio-Pedro-Amigo) e dispor os 2 amigos e as 5 cadeiras vazias restantes nos 7 lugares restantes, como em (Vazio Pedro Amigo1 Amigo2 Amigo3 Vazio Vazio Vazio Vazio Vazio). Como 10 é a maior opção que satisfaz a condição, e não há restrições adicionais que impeçam N=10 (ou N>10), esta é a resposta esperada.