Questão de Matemática Financeira e Estatística · FGV SEFAZ-AM 2022 - Prova I (nº 24)

A esperança (ou média) de uma variável aleatória discreta é o valor médio que esperamos obter se repetirmos o experimento muitas vezes, calculada somando cada valor possível da variável $x$ multiplicado pela sua respectiva probabilidade $P(X=x)$, ou seja, $E[X] = \sum x \cdot P(X=x)$.

• (A) Incorreta: Esta alternativa pode ser tentadora se o aluno calcular apenas a soma das contribuições negativas (e.g., $(-2) \cdot (1/9) + (-1) \cdot (2/9) = -4/9 \approx -0,44$) ou cometer um erro de sinal/cálculo, ignorando as contribuições positivas que anulam o resultado.
• (B) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto da esperança.
• (C) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto da esperança.
• (D) Correta: Primeiro, determinamos o valor da constante $k$. A soma de todas as probabilidades deve ser igual a 1: $k + 2k + 3k + 2k + k = 9k = 1 \implies k = 1/9$. Em seguida, calculamos a esperança (média) $E[X]$ usando a fórmula $E[X] = \sum x \cdot P(X=x)$:
  $E[X] = (-2) \cdot (1/9) + (-1) \cdot (2/9) + (0) \cdot (3/9) + (1) \cdot (2/9) + (2) \cdot (1/9)$
  $E[X] = -2/9 - 2/9 + 0/9 + 2/9 + 2/9$
  $E[X] = (-2 - 2 + 0 + 2 + 2) / 9 = 0/9 = 0$.
• (E) Incorreta: Não corresponde ao cálculo correto da esperança.