Questão de Raciocínio Lógico-Matemático · FGV SEFAZ-AM 2022 - Prova I (nº 20)

Uma sequência por recorrência é uma lista de números onde cada termo, a partir de um certo ponto, é calculado usando os valores dos termos anteriores, seguindo uma regra específica.

Resolução:
A regra de recorrência é $a_n = a_{n-1} + 2a_{n-2}$ para $n \ge 3$.
Sabemos que $a_6 = 85$ e $a_8 = 341$.
Vamos usar a regra para encontrar os termos anteriores, trabalhando de trás para frente:

1. Encontrar $a_7$:
   $a_8 = a_7 + 2a_6$
   $341 = a_7 + 2(85)$
   $341 = a_7 + 170$
   $a_7 = 341 - 170$
   a_7 = 171\

2. Encontrar $a_5$:
   $a_7 = a_6 + 2a_5$
   $171 = 85 + 2a_5$
   $2a_5 = 171 - 85$
   $2a_5 = 86$
   a_5 = 43\

3. Encontrar $a_4$:
   $a_6 = a_5 + 2a_4$
   $85 = 43 + 2a_4$
   $2a_4 = 85 - 43$
   $2a_4 = 42$
   $a_4 = 21$

Portanto, o quarto termo da sequência é 21.

(A) Incorreta: Chegaria a 15 se, ao calcular $2a_4 = 85 - 43$, houvesse um erro de subtração e o resultado fosse 30 (ao invés de 42), levando a $2a_4 = 30 \Rightarrow a_4 = 15$.
(B) Incorreta: Chegaria a 17 se, ao calcular $2a_4 = 85 - 43$, houvesse um erro de subtração e o resultado fosse 34 (ao invés de 42), levando a $2a_4 = 34 \Rightarrow a_4 = 17$.
(C) Incorreta: Chegaria a 19 se, ao calcular $2a_4 = 85 - 43$, houvesse um erro de subtração e o resultado fosse 38 (ao invés de 42), levando a $2a_4 = 38 \Rightarrow a_4 = 19$.
(D) Correta: O quarto termo é 21. A sequência de cálculos, trabalhando de trás para frente a partir dos termos dados, é: $a_8 = a_7 + 2a_6 \Rightarrow 341 = a_7 + 2(85) \Rightarrow a_7 = 171$. Em seguida, $a_7 = a_6 + 2a_5 \Rightarrow 171 = 85 + 2a_5 \Rightarrow 2a_5 = 86 \Rightarrow a_5 = 43$. Finalmente, $a_6 = a_5 + 2a_4 \Rightarrow 85 = 43 + 2a_4 \Rightarrow 2a_4 = 42 \Rightarrow a_4 = 21$.
(E) Incorreta: Chegaria a 23 se, ao calcular $2a_4 = 85 - 43$, houvesse um erro de subtração e o resultado fosse 46 (ao invés de 42), levando a $2a_4 = 46 \Rightarrow a_4 = 23$.