Questão de Matemática · FGV SEE-MG 2023 (nº 43)

Para encontrar o número mínimo de elementos na interseção de dois conjuntos (pessoas que possuem ambas as características), usamos o princípio da inclusão-exclusão, que estabelece que a soma das proporções dos dois grupos menos a proporção total (1 ou 100%) nos dá a proporção mínima da interseção.

• (A) Correta: Para encontrar o número mínimo de pessoas que usam tênis E bermudas, primeiro precisamos de um número total de pessoas que seja múltiplo de 5 e 7, para que as frações resultem em números inteiros. O menor múltiplo comum de 5 e 7 é 35. Se há 35 pessoas na sala:
  • Pessoas usando tênis: $\frac{3}{5} \times 35 = 21$ pessoas.
  • Pessoas usando bermudas: $\frac{4}{7} \times 35 = 20$ pessoas.
  • A soma desses grupos é $21 + 20 = 41$ pessoas.
  • Como o total de pessoas na sala é 35, o "excedente" de pessoas ($41 - 35 = 6$) deve ser o número mínimo de pessoas que estão em AMBOS os grupos (usando tênis E bermudas). Isso ocorre porque a soma das partes não pode exceder o todo sem que haja uma sobreposição.
• (B) Incorreta: Não há um cálculo direto que leve a 7 como a resposta mínima. Esta alternativa pode ser um distrator numérico.
• (C) Incorreta: Não há um cálculo direto que leve a 12 como a resposta mínima. Esta alternativa pode ser um distrator numérico.
• (D) Incorreta: 35 é o número total mínimo de pessoas na sala para que as frações $\frac{3}{5}$ e $\frac{4}{7}$ resultem em números inteiros de pessoas. Não é o número de pessoas na interseção. A armadilha aqui é confundir o total mínimo de pessoas com a interseção mínima.