Questão de Engenharia Civil · FGV MPMS 2012 (nº 62)

A Lei de Hooke generalizada descreve como um material se deforma (suas deformações específicas, $\epsilon$) em todas as direções quando submetido a tensões ($\sigma$, que são forças internas por unidade de área) em diferentes direções, levando em conta a rigidez do material (Módulo de Young, $E$) e sua tendência a se contrair transversalmente quando esticado longitudinalmente (coeficiente de Poisson, $\nu$).

• (A) Correta: Para um estado plano de tensões, $\sigma_z = 0$. As equações da Lei de Hooke generalizada para as deformações normais são:
  $\epsilon_x = \frac{1}{E} [\sigma_x - \nu(\sigma_y + \sigma_z)]$
  $\epsilon_y = \frac{1}{E} [\sigma_y - \nu(\sigma_x + \sigma_z)]$
  $\epsilon_z = \frac{1}{E} [\sigma_z - \nu(\sigma_x + \sigma_y)]$

  Com $\sigma_z = 0$:
  $\epsilon_x = \frac{1}{E} [\sigma_x - \nu\sigma_y]$
  $\epsilon_z = \frac{1}{E} [0 - \nu(\sigma_x + \sigma_y)] = -\frac{\nu}{E}(\sigma_x + \sigma_y)$

  Substituindo a relação $\sigma_x = 2\sigma_y$:
  $\epsilon_x = \frac{1}{E} [2\sigma_y - \nu\sigma_y] = \frac{\sigma_y}{E}(2 - \nu)$
  $\epsilon_z = -\frac{\nu}{E}(2\sigma_y + \sigma_y) = -\frac{\nu}{E}(3\sigma_y) = -\frac{3\nu\sigma_y}{E}$

  A relação entre $\epsilon_x$ e $\epsilon_z$ é:
  $\frac{\epsilon_x}{\epsilon_z} = \frac{\frac{\sigma_y}{E}(2 - \nu)}{-\frac{3\nu\sigma_y}{E}} = \frac{2 - \nu}{-3\nu}$

  Substituindo $\nu = 0,20$:
  $\frac{\epsilon_x}{\epsilon_z} = \frac{2 - 0,20}{-3 \times 0,20} = \frac{1,80}{-0,60} = -3,0$

• (B) Incorreta: Este valor não é obtido com os dados fornecidos e as fórmulas corretas da Lei de Hooke generalizada.

• (C) Incorreta: Este valor implicaria um coeficiente de Poisson de 0,5, que é para materiais incompressíveis, e não 0,20 como dado no problema.

• (D) Incorreta: Este valor é o oposto de -2,5, que já é incorreto. Não corresponde ao cálculo correto.

• (E) Incorreta: Esta alternativa é um distrator tentador. O valor 3,0 seria obtido se o sinal negativo na equação de $\epsilon_z$ fosse ignorado (ou seja, se $\epsilon_z = \frac{\nu}{E}(\sigma_x + \sigma_y)$ fosse usado). O sinal negativo é crucial e representa a contração transversal devido ao efeito de Poisson.